湖南大学数学专业研究生好考吗2篇

湖南大学数学专业研究生好考吗2篇湖南大学数学专业研究生好考吗　湖南大学2007年硕士研究生入学考试复试分数线　07湖大线07国家线报考学科门类专业总分政治、外语业务课一、业务课二总分政治、外语下面是小编为大家整理的湖南大学数学专业研究生好考吗2篇,供大家参考。

篇一：湖南大学数学专业研究生好考吗

　 07 湖大线 07 国家线 报考学科门类专业 总分 政治、 外语 业务课一、 业务课二 总分 政治、外语 业务课一、业务课二 哲学[01] 325 50 90 305 46 69 经济学[02]不含金融学 330 55 85 325 53 80 法学[03]不含法律硕士[030180] 340 55 90 335 53 80 法律硕士[030180] 330 55 90 340 53 80 教育学[04] 330 50 180 305 50 150 文学[05] 345 55 90 350 55 83 历史学[06] 310 48 170 290 41 123 理学[07] 310 50 80 305 49 74 工学[08] 300 46 75 290 41 62 医学[10] 315 50 180 285 43 129 管理学[12]不含 MBA[120280] 335 55 85 330 54 81 工商管理硕士MBA)[120280] 165 英语 50 综合能力100 165 48 96

篇二：湖南大学数学专业研究生好考吗

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 把向量 表成向量 的线性组合� �1�

　� 2 � 【答案】�1�设 按各分量写出等式�得方程组

　对它求解�得

　故

　�2�设 按各分量写出等式�得方程组

　对它求解得 故

　 2� 下图表示一个电路网络�每条线上标出的数字是电阻�单位是欧姆��E 点接地�由 X�Y�U�Z 点通 入的电流皆为 100 安培�求这四点的电位.�用基尔霍夫定律.�

　 图 【答案】U, X,Y, Z 点的电位分别为

　 3 � 设 3 阶 矩 阵其 中 均 为 3 维 行 向 量 � 且 【答案】

　 4� 如果 是线性空间 P[x]中三个互素的多项式�但其中任意两个都不互素�那么它们线性无关. 【答案】设有一组数 使 要证 若有某 不妨设为 则可得

　由此知道�的公因式皆为 的因式.而题设 有非常数公因式�故有非常数公因式�与题设 互素矛盾.故 即线性无关.

　5� 设 为欧几里得空间 V 的标准正交基 .求正交变换 H�使

　【答案】令

　则

　是镜面反射�于是 H 是第二类正交变换.注意到

　直接验证

　故 H 为所求

　6� 设 V 是复数域上 n 维线性空间� 各为 V 的 维和 维子空间�试求 之维数的一切可能值. 【答案】取 V 啲一组基 再取 的一组基 �则

　7� 设 是 II 维线性空间 V 的一组基�A 是一个 矩阵�且

　证明� 的维数等于 A 的秩. 【答案】记 由式�6—21�知 在基 的坐标�_由

　是线性空间的同构映射�而同构映射保持向量组的线性相关性�故

　 8� 证明�上三角的正交矩阵必为对角矩阵�且对角线上的元素为+1 或-1. 【答案】设 A 是一个上三角矩阵�

　如果 A 还是一个正交矩阵�则有

　 由最后一行可得 逐行往上可得

　 即 A 为对角矩阵�且对角线上元素为 1 或-1.

　9� 设 为由全体正实数对运算

　 作成的实数域 R 上的线性空间�R 对普通加法与乘法作成 R 上线性空间.证明�

　【答案】证法 I 任取一个定实数 则易知 是 R 到 的一个映射�且显然是一个单射. 又对任意 即 b 是一正实数�令 则 故 又是满射�从而为双射. 又因为对任意 和有

　 因此� 证法 II 实数集 R �对普通加法与乘法�作成实数域上一维线性空间.下证 也作成实数域上一维空间. 中的零向量是 1,今在 中任取一非零向量 a,即 a 是一个非 1 的正实数�则当 时有.即 a 在 R 上线性无关.再任取 即 b 为正实数�则

　即 中每个向量都可由 a 线性表示.因此� 也是实数域上一维空间�即 与 R 都是实数域上一维空间� 故

　 10�不全为 0,求证:

　【答案】证法 14则①式改为

　且

　 于是

　且

　 再由③有

　从而存在 使 两边乘有

　 进而�

　由⑥知

　由④�⑦得证①. 证法 2则

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�二� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 设秩 证明�如果 A 有零特征值�则零特征对应的初等因子次数不超过 k. 【答案】设 A 的若当标准形为

　其中 J 0 为 A 中所有特征值为 0 的若当形矩阵�即中可能有若干个若当块�其主对角线元均为 0�.其它若 当块 的特征值均非零�即

　另设 t 为 中最大块的级数�它对应的初等因子为 下证

　 用反证法.若 t>k�则由①式有

　这时由亍 所以

　但 都非奇异�所以

　从而由②�③�④�有

　这与假设矛盾. .即证零特征值对应的初等因子的次数不超过 k.

　2� 记 P 为数域�假设 有特征值 但 均不是A 的特征值.试证明 V 的变换 为同构. 【答案】

　显然保持加法与数乘�下证是一一对应的. 令 则 因为 特征值为 �它们均不是 A 的特征值�得 X=0,此说明 的核 所以 是单射�由于 V 是有限维空间�所以 V 是满射�证完.

　3� 在数域 K 上的 4 维向量空间 内�给定向量组

　�1�判断此向量组是否线性相关� �2�求此向量组的秩� �3�求此向量组生成 的子空间

　 的维数和一组基. 【答案】�1� 线性相关. �2�由于 的对应分量不成比例�因而 线性无关.又 可由 线性表出�故秩

　�3� 且 为此生成子空间的一组基.

　4� 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间�g 是 V 上的非退化的对称双线性函数�W 是 V 的子空间�令

　证明� �1�

　�2�

　【答案】�1�取 W 的一个基 将之扩充为 V 的基 设 g 关于此基下的度量矩阵为 A�则 A 可逆.因为

　于是 的充要条件是其坐标是齐次线性方程组

　的解.由�10-6�的系数矩阵的秩为 r,得到�10-6�的基础解系含 n—r 个解向量�以其为坐标的向量设为 则 就是 的基�于是 故结论成立. �2�记 由�1�知 显然 由 故

　 5� 设 f�x�是次数大于零的整系数多项式�若 是 f�x�的根�则 也是 的根. 【答案】

　设 其中 去除 所得到 的余式.由带佘除法定理�可设

　而 的根�即

　所以

　即有

　可见 的根.

　6� 设 K 为数域� 分别为 K 上偶次项系数全为零和奇次项系数全为零的全体多项式作成的集合.证明 都是多项式空间 的子空间�且二者同构. 【答案】

　都作成子空间显然�又易知

　是 的一个映射. 又 若 即 所 有 i 均 为 偶 数 � 从 而 i+1 均 为 奇 数 � 于 是因 此� 是满射. 同理易知 是单射�从而是双射�又由于

　 因此�

　 7� 是直和 中存在向量 cx 的分解式是惟一的. 【答案】必要性是显然的�下证充分性. 设 a�0 的分解式为

　这里则

　注意到 由 a 的分解式是惟一的�则

　于是 从而〇向量的分解式是惟一的�故 是直和.

　8� 证明�A 与 相似�从而有相同的特征值.但特征向量不一定相同. 【答案】设 且 的不变因子为

　则存有 n 阶可逆阵使

　两边取转置得

　从而 与 有相同的不变因子� 于是

　这说明�A 与 有相同的特征多项式�从而有相同的特征值.但特征向量不一定相同�比如设

　当 时�由 得线性无关的特征向量为 则 A 属于 1 的全部特征向量为其中 k 为 P 中不为零的任意常数. 当 时�由 得线性无关特征向量为 则 属于 1 的全部特征向量为其中 1 为 P 中不为零的任意常数�因此 A 与 具有不同的特征向量.

　9� 计算 n 阶行列式 其中 x=yz 【答案】按第一行展开得

　 由①式得

　10�设

　�1�A 能否对角化��2�求 B 的行列式. 【答案】�1�由

　得 A 的特征值为全部的 n 次单位根 它们互不相同�故 A 可以对角化。

　�2�注意到

　因而

　令

　则 由 A 的全部特征值为 则 B 的全部特征值为

　故

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�三� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 4 为有限维欧氏空间的一个标准正交组�对 均有 那么是 V 的基. 【答案】设由 生成的子空间为 即设

　所以

　又

　所以由 知 从而

　即 所以 结合正交组线性无关知 为 V 的基�

　2� 设 A、B 是 n 阶正交阵�且 证明�

　【答案】A、B 为正交阵�艮 P

　所以

　故

　又因为

　所以

　3� 设 W 是 的非零子空间�对于 W 中每一个向量 或 全为 0,或 全不为I

　 n,证明�

　【答案】

　则 a 线性无关. 设 这里 因为

　所以

　则 故 a 是 W 的基�且

　 4� 设 A 为 n 阶非数量矩阵.证明� �1�若 且 a�b�c 不全为 0�则

　�2�若

　【答案】�1�设

　 若 c=0�则 aA=-bE.这与 a�b�c 不全为 0 且 A 非数量矩阵矛盾�因此

　反之�若 则由假设可得 从而

　�2�由 得 A�A—E�=0.若 则得 A=E.这与 A 非数量矩阵矛盾.故 .

　5� �1�证明� 其中 Y 为可逆方阵 A 的伴随矩阵� �2�设 A 为实对称阵�A 的秩为 r,证明�A 可表为 r 个秩为 1 的对称方阵之和 【答案】�1�本题中假设 A 为可逆方阵�实际上对任意竹阶方阵 A 都有

　�i�当 A 可逆时�由于 两边取行列得

　�ii�当 A 不可逆时� 这时秩从而也有

　从而存在正交阵使

　其中 为 A 的全部特征值.因为秩 A=r�不防设 所以

　 其中

　则 秩 B=l,G=1�i=l�2�…�r�.

　 6� 设 T 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换� 是 T�V�的一个基�且令 证明� 其中 T�V�表示 T 的值域�N�T�表示 T 的核空间 【答案】

　�则有

　而 为 T�V�的基�所以 即 因此有 故W+N�T�是直和.又因为 线性无关�且所以 线性无关�故有 dimW=r. 又 所以有

　从而

　 7� 计算 n+1 阶行列式

　【答案】将 最后一列拆成两个行列式的和�

　上式右端第一个行列式按 n+1 列展开�然后用归一法计算�第二个行列式 列乘以 加到第 i 列�i 得 �

　 8� 设 n 阶方阵 且 证明�存在可逆方阵 P�使 与 皆为对角矩阵且主对角上元素为 1 和 0. 【答案】由于 故 A 满足 因而 A 的最小多项式整除 的初等因子只能由 构成. 于是 A 相似于 故存在可逆方阵使

　令 则由得

　即

　由此得

　又由 可得 从而 于是由上同理可得

　其中 可逆且 再令

　则由 及�6���7���8�得

　9� 求下列方程的最小二乘

　用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义�由此列出方程并求解.�用三位有效数字计算�. 【答案】设系数矩阵的两列向量分别为即

　又令

　求 X 使 最 小 � 即 求 Y 使 Y-B 垂 直 于 子 空 间. 或也即

　计算即得

　解得

　 10�设 A 为 n 阶方阵�证明:

　【答案】当 时�有

　而

　所以

　 当 时�有

　当 时� 从而

　显有

　当 时�有

　结合 时知

　故仍有

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�四� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 设 T 是数域 K 上线性空间 V 的线性变换.证明� ①若 是 T 的分别属于特征值 的特征向量且 则 不是 T 的特征向量� ②T 是数乘变换 V 中每个非零向量都是 T 的特征向量. 【答案】①因为 且故

　若 是 T 的特征向量�相应特征值为则

　于是由�8�得 但属于不同特征值的特征向量线性无关�故 矛盾. ②若 T 是数乘变换�则存在使

　从而 V 中任何非零向量都是 T 的特征向量. 反之�若 V 中任何非零向量都是 T 的特征向量�则在 V 中任取 设

　再任取 V 的一个向量 x.若 或 则也有

　若 贝 U 由假设 x 也是 T 的特征向量�设

　若 则由①知 不是 T 的特征向量.这与任何非零向量都是 T 的特征向量的假设矛盾�故必有 即也有 因此�T 是数乘变换.

　2� 设 R 的线性变换 在标准正交基下的矩阵为

　�1�求 A 的特征值和特征向量. �2�求 的一组标准正交基�使 A 在此基下的矩阵为对角矩阵. 【答案】�1�计算可得 所以 A 的特征值为

　当 时�特征方程为

　此系数矩阵秩为 1,故 A 有两个属于 1 的线性无关的解向量

　 从而属于 1 的所有特征向量为 其中 不全为零. 当 时�特征方程为

　 于是原方程组等价于

　故 A 的属于 4 的线性无关特征向量为 从而属于 4 的所有的特征向量为 其中为任意常数. �2� A 为实对称阵�从而存在正交阵 T�使

　把 正交化�再单位化. 先正交化�

　再单位化�

　 故 组成了 A 的标准正交基�且 A 在 下的矩阵为对角矩阵.

　3� 已知分块形矩阵 可逆�其中 B 为 块.C 为求 B 与 C 都可逆�并求

　【答案】�1� 即证 B�C 都可逆. �2�解法 1

　令 其中 块� 块.那么由 可得

　所以 C 可逆�由③�④解得 将它们代入①�②又 B 可逆�可解得故

　解法 2

　用广义行初等变换

　 4� 设 A 是 mxn 矩阵� 且 A 的行向量线性无关�B 是 矩阵�B 的列向量线性无关�且 AB=0,如 的解�则 有唯一解. 【答案】因为 所以 AX=0 的基础解系含 个向量. 又 AB=0,所以 B 的列向量均为 AX=0 的解• 又 从而 B 的列是 AX=0 的一个基础解系.考虑 是 AX=0 的解�所以 可由 B的列仏� 线性表示�并且表法唯一. 令

　可得

　即 使

　 5� 设

　的正惯性指数为 P�秩为 r�证明�

　【答案】

　可改写为

　设二次型 的矩阵为 A�则

　p=正惯性指数=n-l�负惯性指数=0. r=�正惯性指数�+�负惯性指数�=n-1

　 6� 求可逆方阵 P 使 其中

　【答案】易知 A 的三个特征值 1�2, 3 互异�故 A 可对角化. 对应三个特征值分别解齐次线性方程组�

　各得一特征向量 若令

　则

　又易知 同理�解

　可得特征向量令

　则

　由�10���11�知�若令即

　便得

　 7� 设A�B分别为m×n与m×s矩阵�X为n×s未知矩阵.证明�矩阵方程AX=B有解�A�B�.且当 r�A�=r�A�B�=r=n 时�AX=B 有唯一解�当 r<n 时有无穷多解. 【答案】设 即 分别为矩阵 A 与 B的列向量组.若 AX=B 有解则得

　即 B 的 列 向 量 组 可 由 A 的 列 向 量 组 线 性 表示 � 从 而 但 显 然因此�r�A�=r�A�B�. 反之�若 r�A�=r�A�B�=r�则 B 的列向量组必是 A 的列向量组的线性组合�且以组合系数为列向量所构成的 n×s 矩阵便是 AX=B 的解. 当 r=n 时由于每个__�的解唯一�从而 AX=B 的解也唯一�当r<n 时由于每个 有无穷多解�故 AX=B 也有无穷多解.

　8� �1�设 试求

　�2�设 由下面矩阵级数来定义�

　如果 试证�

　【答案】�1�设 为 A 的特征多项式�则

　 将 代入①得

　解得

　所以

　 �2�设 由上面②求得

　类似可得所以

　 9� 设 A�B 均为 n 阶方阵�A+B=AB�证明�r�A�=r�B�. 【答案】由 A+B=AB�得

　故 类似可得� 故 r�A�=r�B�.

　10� 定义

　试证 都是 V 上线性函数�并找出 V 的一组基 使 是它的对偶基. 【答案】易证 都是 上线性函数. 令 使得 即有

　 解出得

　同样可算出

　满足

　由于

　....

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