两动一定最小值问题菱形7篇两动一定最小值问题菱形 几何图形中的最小值问题 一、自学提纲 1、如何做点A关于直线L的对称点B？ 2、正方形ABCD的顶点A和C关于对角线BD对称吗？ 3、下面是小编为大家整理的两动一定最小值问题菱形7篇,供大家参考。
篇一：两动一定最小值问题菱形
图形中的最小值问题一、 自学提纲
1、 如何做点A关于直线L的对称点B？
2、 正方形ABCD的顶点A和C关于对角线BD对称吗？
3、 菱形 ABCD 的顶点 A 和 C 关于对角线 BD 对称吗
二、 情景研讨
南水北调工程途径我市， 我市的甲、 乙两个村庄位于河道同侧， 现要向甲、 乙两个村庄送水， 请讨论在河道的什么地方开口，才能最节省送水管？
三、 试一试 1、 在梯形ABCD中， AD∥BC, MN垂直BC于N， 且N为BC的中点， P为MN上任意一点， 若PA+PB的值最小， 则P是
和
的交点.
2、 在正方形ABCD中， AB=BC=2， E是BC的中点， F是AC上一动点，则FB+FE的最小值是
.
3、 在菱形ABCD中∠ABC=60° ， AB=8， M是BD上的一个动点， N是BC的中点， 若MC+MN的值最小， 则该最小值是
.
4、 已知AB为⊙O的直径， AB=2, C是半圆AB的三等分点， OD平分∠COB， E是AB上的一个动点， 则EC+ED的最小值是
.
四、 延伸迁移
如图在边长为4的正方形ABCD中， AE= CG=1 , 点F. H分别是边AB和CD上的两个动点， 且AF=CH。
(1) 判断四边形EFGH的形状（不需要说明理由）
（2）
求四边形EFGH的周长最小值。
五、 通过本节课的学习， 你都有那些收获？
六、 课堂检测 1、 在△ABC中， AB=BC=4， ∠ABC=90° ， D是BC边的中点， E是AC边上一动点， 则EB+ED的最小值是
.
2、 在平面直角坐标系中， A、 B 两点坐标分别为 A(-2, 0) 、 B（8，0）
， 以 AB 为直径的半圆 P 与 y 轴交于点 M， 以 AB 为一边做正方形 ABCD.
（1）
求 C、 M 两点坐标;
（2）
在 X 轴上是否存在一点 Q， 使得△QMC 的周长最小？ 若存在， 求出点 Q 的坐标； 若不存在， 请说明理由。
篇二：两动一定最小值问题菱形
∠PHO ＝135°为定角，但其所对的边 OP 并非定弦 ，连 I D，易证△ PIO≌ △ OID，所以∠OID ＝∠PIO＝135°，且其所对的边为 OD，符合定弦定角条件，故 I 点轨迹为圆弧，问题易解.解 如图7 －1，连结 PI，OI，HI，DI.因为点 I 为 △ OPH 的内心，所以 △ PIO≌ △ OID.因为 PH⊥OD 于点 H，所以∠ PIO ＝90°＋ 12∠PHO ＝135°.所以∠OID ＝∠PIO ＝135°.又因为 OD ＝6， 所以 I 点在 △ OID 的外接圆上运动，作出 △ OID 的外接圆⊙O′，连结 O′O，O′D.所以∠OO′D ＝135°，O′O ＝3 2.所以 I 点运动路径长为90360×2π×3 2 ＝3 2π2.说明 此题较难的地方在于难以发现∠OID ＝135°这个定角，并且注意点 I 的运动轨迹是一段圆弧，而非整个圆.从这两类问题的研究中还可以发现一点：若无其它限制，主动点运动路径是圆弧， 从动点的运动路径也应是圆弧，并且从动点与主动点圆心角应该是相等的.面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？ 俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题，当学生对数学知识，数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界.只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题.因此，在教学中要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力.由朱华伟，钱展望所著《数学解题策略》一书中谈到：“把学数学比作吃核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它.数学教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃 .教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净 .” 在实际的教学过程中我们发现许多问题，虽然属于不同的知识內容，但它们在方法策略上有相同或类似之处 .从解题的角度来看，顺利解决一道数学问题除了必须具备扎实的学科知识基础，更重要的是要有灵活的方法策略.我们在解题的时候常常碰到这样的情况：在百思不解的时候，经过解题高手一点拔，我们的思路豁然开朗，闪电一般解决了问题 .这说明我们并不是不熟悉问题涉及的知识內容，而是我们的方法策略不对，因此需要我们做教师的在平时的教学过程中多研究一些解题策略.参考文献：［1］徐宏.涉圆最值问题归类解析［J］.中学数学教学，2017（1）：38 －40.［2］朱华伟，钱展望著.数学解题策略［M］.北京：科学出版社，2009.例谈如何求 “一定两动型 ”折线段长的最小值江苏省淮安市淮阴区开明中学 223300马先龙
摘 要：“一个定点、两个动点”型折线段长的最小值问题一直是全国各地中考命题的热点.此类问题因难度较大，常常让答题者望而生畏.实际解题时，若能灵活地运用轴对称法，通过等线段代换，化“同”为“异”、化“折”为“垂”、化“折”为“定点与曲线上最近点连线”，则可化难为易，顺利解题.关键词：折线段；轴对称；化同为异；化折为垂作者简介：马先龙（1966 －），男，江苏淮阴人，本科，中学高级教师，江苏省淮安市骨干教师，研究方向：中学数学教学.
轴对称法［1］是解折线段长最小值问题行之有效 的方法.那么，实际解题时，如何灵活运用这种方法求· 8 2 · 理科考试研究· 数学版
2018 年 10 月10 日 万方数据
“一个定点、两个动点”型折线段长的最小值呢？一、构造轴对称点，化同为异，化折为垂例1 （2018 湖北十堰市中考）如图 1，Rt △ ABC中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝6 2，点 D、E 分别是边BC、AC 上的动点，则 DA ＋DE 的最小值为 .分析 如图 1，求 DA ＋DE 的最小值就是求折线段 AD—DE 长的最小值.作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′，则 AD ＝A′D.所以 DA ＋DE ＝A′D ＋DE.因 A′是定点，故过点 A′作 A′M⊥AC 于点 M，根据“垂线段最短”，知垂线段 A′M 的长就是折线段 A′D—DE 亦即折线段 AD—DE 长的最小值，求出 A′M 的长即可.解 如图1，作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′，则 DA ＝A′D.所以 DA ＋DE ＝A′D ＋DE.因 A′是定点，故过点 A′作 A′M⊥AC 于点 M，根据“垂线段最短”，知垂线段 A′M 的长就是 DA ＋DE 的最小值.在 Rt △ ABC 中，因为∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝6 2，所以 BC ＝ 32＋（6 2）2＝9.所以边 BC 上的高为 3 ×6 29＝2 2.所以 AA′＝4 2.因为∠A′AM ＋∠BAA′＝90°，∠ABC ＋∠BAA′＝90°，所以∠A′AM ＝∠ABC.在 Rt △ A′AM 中，sin∠A′AM ＝A′MAA′.在 Rt △ ABC 中，sin∠ABC ＝ACBC .所以 A′MAA′＝ACBC .所以 A′M4 2＝6 29，解得 A′M ＝163.所以 DA ＋DE 的最小值为 163.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，两个动点都在线段上运动.通过构造点 A 关于直线 BC的对称点 A′，连接 DA′，得到 DA ＝A′D，达到了化直线BC 的同侧线段 AD、DE 为直线 BC 的异侧线段 A′D、DE，即化同为异的目的；通过构造 A′M⊥AC，知垂线段 A′M 的长即为折线段 AD—DE 长的最小值，从而达到了化折为垂，化难为易的目的.二、构造轴对称点，化同为异，化折为“定点与曲线上最近点连线”例2 （2018 黑龙江龙东地区中考）如图 2，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD ＋PG 的最小值为 .分析 如图 2，求 PD ＋PG 的最小值就是求折线段 DP—PG 长的最小值.作点 D 关于直线 AB 的对称点 D′，连接 D′P，则 PD ＝D′P.所以 PD ＋PG ＝D′P ＋PG.设 BC 的中点为 O，以点 O 为圆心，BC 为直径作⊙O，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，设 OM 与⊙O 相交于点 N，由题意，易知点 G 在⊙O 的BN上运动，连接D′O，设 D′O 与⊙O 相交于点 H，根据“一点与圆上各点连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最近”，知 D′H 的长就是折线段 D′P—PG 亦即折线段 DP—PG 长的最小值，求出 D′H 的长即可.解 如图 2，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D′，连接 D′P，则 PD ＝D′P.所以 PD ＋PG ＝D′P ＋PG.设 BC 的中点为 O，以点 O 为圆心，BC 为直径作⊙O，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，设 OM 与⊙O 相交于点 N.由题意，易知点 G 在⊙O 的BN上运动，连接D′O，设 D′O 与⊙O 相交于点 H，则线段 D′H 的长就是 D′P· 9 2 ·
2018 年10 月10 日
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＋PG 的最小值，也就是 PD ＋PG 的最小值.在 Rt △ D′OM 中，因为∠D′MO ＝90°，OM ＝AB ＝4，D′M ＝4 ＋2 ＝6，所以 D′O ＝ 62＋42＝2 13.所以 D′H ＝D′O －OH ＝2 13 －2.所以 PD ＋PG 的最小值为2 13 －2.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，一个动点在线段上运动，另一个动点在圆弧上运动.通过构造点D 关于直线AB 的对称点 D′，连接D′P，得到PD ＝D′P，达到了化直线 AB 的同侧线段 PD、PG 为直线 AB 的异侧线段 D′P、PG，即化同为异的目的；通过构造⊙O，连接 D′O 与⊙O 相交于点 H，知线段 D′H 的长即为折线段 DP—PG 长的最小值，从而达到了化折为“定点与圆上最近点连线”，化难为易的目的.例3 如图 3，已知正方形 ABCD 的边长是 4，动点 E 从点 A 出发沿边 AB 向点 B 运动，同时，动点 F从点 B 出发沿边 BC 向点 C 运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到各自终点时停止运动.设运动过程中AF 与 DE 相交于点 M，P 是边 CD 上任意一点，则 PB＋PM 的最小值为 .分析 如图3，求 PB ＋PM 的最小值就是求折线段 BP—PM 长的最小值.作点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，则 PB ＝B′P.所以 PB ＋PM ＝B′P ＋PM，连接 B′M，则 B′P ＋PM ＞B′M.如图4，设 AD 的中点为 O，以点 O 为圆心，AD 为直径作⊙O，则⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G，由题意，易知点 M 在⊙O的AG上运动，当点 E 运动到点 B，点 F 运动到 C 时，点M 运动到点 G，此时，B′M 的长最小，故 B′G 的长就是折线段 B′P—PM 亦即折线段 BP—PM 长的最小值，求出 B′G 的长即可.解 如图3，作点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，则 PB ＝B′P.
所以 PB ＋PM ＋B′P ＋PM.连接 B′M，则 B′P ＋PM ＞B′M.如图4，设 AD 的中点为 O，以点 O 为圆心，AD 为直径作⊙O，则⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G.由题意，知 AE ＝BF.又因∠DAE ＝∠ABF，AD ＝AB，所以 △ DAE≌ △ ABF（SAS）.所以∠ADE ＝∠BAF.所以∠ADE ＋∠DAM ＝∠BAF ＋∠DAM ＝90°.所以∠AMD ＝90°.所以点 M 在⊙O 的AB上运动，当点 M 运动到点G，B′M 的长最小，故 B′G 的长就是 PB ＋PM 的最小值.过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，在 Rt △ B′GN 中，∠B′NG ＝90°，B′N ＝4 ＋2 ＝6，GN ＝ 12AB ＝2.由勾股定理，得 B′G ＝ B′N2＋GN2＝ 62＋22＝2 10，所以 PB ＋PM 的最小值为 2 10.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，一个动点在线段上运动，另一个动点在圆弧上运动.通过构造点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，得到PB ＝B′P，达到了化直线 CD 的同侧线段 PB、PM 为直线 CD 的异侧线段 B′P、PM，即化同为异的目的；通过构造⊙O，知⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G，且点M 在⊙O 的AG上运动，连接 B′G，知线段 B′G 的长即为折线段 BP—PM 长的最小值，从而达到了化折为“定点与圆弧上最近点连线”，化难为易的目的.综上，用轴对称法求“一定两动”型折线段长的最小值，当两个动点都在线段上运动时，采用构造轴对称点，化同为异，化折为垂的方法求解；当两个动点一个在线段上运动，另一个在曲线上运动时，采用构造轴对称点，化同为异，化折为“定点与曲线上最近点连线”的方法求解.“模式只是提供了一种相对稳定的样本，遇到一个新的问题时，还需要转化或分解问题，创新出更多的模式［2］”.更多的运用，留给读者.参考文献：［1］ 马先龙 .因题而异 按需取法［J］.中学数学杂志，2015（2）：58 - 60.［2］ 罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2001.· 0 3 · 理科考试研究· 数学版
2018 年 10 月10 日 万方数据
篇三：两动一定最小值问题菱形
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．若 P、Q 分别是 AB 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是_________.分析：作点 C 关于 AB 的对称点 D，过 D 作 DQ⊥AC 于 Q，则 DQ 的长度即为 PC+PQ 的最小值， 由勾股定理得到2 28 AC AB BC ,根据三角形的面积可求得 4825AC BCCDAB ,通过△DQC∽△ABC，得到CD DQAB AC ,代入数据即48510 8DQ 可得19225DQ .∴PC+PQ 的最小值是19225 答案: 19225 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形，其中一边上有一定点，在两边上各有一动点，与定点的和求最小值时，只需要过定点作关于另一条线成轴对称的点，再通过对应点作定点所在线的垂线，垂线段的长度即为所求最小值,求最小值时常借助相似，过定点作垂直于定点所在线的高与另一线相交形成的直角三角形，与定点、对应点和最小值所形成的直角三角形相似可求出最小值
练习：
1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5.若点 M、N 分别是线段 AC、AB 上的两个动点,则 BM+MN的最小值是(
)
A.10
B.8
C. 5 3
D.6
2.如图，E 是正方形 ABCD 中边 CD 上一点，且 DE= 2 CE，连接 BE，P、Q 分别是 BE、BC上的动点，若 AD= 3 2 ，则 PC+PQ 的最小值是______.
答案：
2.分析：根据正方形的边长和 DE= 2 CE，求出 CE，再利用勾股定理列式求出 BE2 ，作点 C关于 BE 的对称点 C′，根据垂线段最短，作 C′Q⊥BC 与 BE 的交点即为所求的点 P，利用△BCE 和△C′QC 相似，相似三角形对应边成比例列式表示出 C′Q，利用三角形的面积用CC′表示出 BE，然后整理求解即可． 答案：3.
例：
如图，在△ABC 中，∠B=45°，∠BAC=30°，AB= 6 2 3 ，AD 是∠BAC 的平分线，若 P、Q 分别是 AD 和 AC 的动点，则 PC+PQ 的最小值是_____.
分析：作 CE⊥AB，垂足为 E，交 AD 于 P 点，过 P 点作 PQ⊥AC，垂足为 Q．则 CP+PQ 为所求的最小值，根据 AD 是∠BAC 的平分线可知 PE=PQ，再由锐角三角函数的定义或勾股定理即可得出结论．
答案：
2 3 总结：当三角形中出现锐角的角平分线及锐角一边上的顶点（定点）及动点和角平分线线上的动点对应相连线段的和最小时，只需要通过定点向锐角的另一边作垂线，垂线段即为所求最小值
练习：
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD 是△ABC 的角平分线，若 P，Q 分别是 AD 和 AC 边上的动点，则 PC+PQ 的最小值是_____.
2. 如图,在锐角三角形 ABC 中,AB=6,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M,N 分别是AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是________.
答案：
1.125
分析：过点 C 作 CE 垂直 AB 于点 E，则 CE 为最小值
例：（2015 秋•江津区校级期中）如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值是______．
分析：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D， ∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB， ∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°， ∴△COD 是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm．∴△PMN 的周长的最小值=8cm． 答案：8cm． 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形的内部有一定点与相交线上的两动点形成的三角形周长最小，只需要分别定点关于这两条线成轴对称的对应点，连接两个对应点形成的
线段与相交线的交点即为两动点的位置，这个时候会得到多个等腰三角形，如△POD，△POC，△COD，△PND，△PMC，并且会得到“V”的夹角的 2 倍角
练习：
1. 如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=5cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,△PMN 周长的最小值是 5cm,则∠AOB 的度数是( )
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
2.（2015 秋•青山区期末）如图，∠AOB=α°，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=6cm，点 M和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是 6cm，则α的值是_______.
3.如图，∠AOB=30°，点 P 为∠AOB 内一点，OP=10，点 M、N 分别在 OA、OB 上，则△PMN周长的最小值是_____．
4.如图，P 为∠AOB 内一定点，M、N 分别是射线 OA、OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=_______.
答案：
2. 分析：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出 PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= 12∠COD，证出△OCD 是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果 答案：30 3.10 4.40°
例：（2015 玉林）如图,已知正方形 ABCD 边长为 3,点 E 在 AB 边上且 BE=1,点 P,Q 分别是边BC,CD 的动点(均不与顶点重合),当四边形 AEPQ 的周长取最小值时,四边形 AEPQ 的面积是________.
分析：其实质仍是轴对称中的最短路径问题，如图，先确定点 E 关于 BC 的对称点 E 1 ，再确定点 A 关于 DC 的对称点 A 1 ，连接这两个对称点 A 1 E 1 得到所对应的 P,O 的位置再根据△B E 1 P∽△A E 1
A 1 得出相应的线段 BP、CP 的长均为32，从而可求得 S 四边形 AEPQ =S 正方形形 ABCD -S △ADQ - S △PCQ
-S △BEP =1 1 1 992 2 2 2AD DQ CQ CP BE BP
答案：92 总结：如图，若是在相交线形成的“V”形的内部有两定点与相交线上的两动点形成的四边形的周长最小，只需要分别通过与动点紧邻的点作对应动点所在的直线成轴对称的对应
点，连接两个对应点形成的线段与线的交点即为两动点的位置，而对于周长求解时，常把对应点所连线段放在三角形中解决
练习：
1. 如图,抛物线 y=－x2 +2x+m+1 交 x 轴于点 A(a,0)和 B(b,0),交 y 轴于点 C,抛物线的顶点为 D.下列四个判断:①当 x>0 时,y>0;②若 a=－1,则 b=4;③抛物线上有两点 P(x 1 ,y 1 )和 Q(x 2 ,y 2 ),若 x 1 <1<x 2 ,且 x 1 +x 2 >2,则 y 1 >y 2 ;④点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E,点G,F 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m=2 时,四边形 EDFG 周长的最小值为 .其中正确判断的序号是( )
A.①B.②C.③D.④
2.（2015 达州改编）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，已知 A（0，4）、C（5，0），二次函数245y x bx c 的图象抛物线经过 A，C 两点. （1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 D、E、F、G 构成四边形 DEFG，求四边形DEFG 周长的最小值. 答案：
2. 解：（1）将 A（0，4）、C（5，0）代入二次函数的解析式，得2445 5 55cb c 解得2454bc ，故二次函数的表达式为24 2445 5y x x
（2）如图：延长 EC 至 E′，使 E′C=EC，延长 DA 至 D′，使 D′A=DA，连接 D′E′，交x 轴于 F 点，交 y 轴于 G 点，GD=GD′EF=E′F， （DG+GF+EF+ED）
最小 =D′E′+DE， 由 E 点坐标为（5，2），BC 的中点；D（4，4），直角的角平分线上的点；得 D′（-4，4），E（5，-2）． 由勾股定理，得2 2 2 22 1 5, (5 4) (4 2) 3 13 DE D E , 3 13 5 DG GF EF ED （ ）最 小
例：
如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 边的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，当 BP=_____时，四边形 APQE 的周长最小．
分析：要使四边形 APQE 的周长最小，由于 AE 与 PQ 都是定值，只需 AP+EQ 的值最小即可．为此，先在 BC 边上确定点 P、Q 的位置，可在 AD 上截取线段 AF=DE=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，则此时 AP+EQ=EG 最小，然后过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点，那么先证明∠GEH=45°，设 BP=x，则 CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE 中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得 x=4．
答案：4 总结：
遇到一条线同侧有两个定点分别记作 A 和 B，在这条线找两个距离一定的动点，使
其组成的四边形的周长最小时，只需要让 A 向 B 所在的这一侧水平移动动点之间的距离得到一个定点记作 C，然后作 B 关于直线的对称点记作 D，然后连接这个对称点 D 和 C 得到这条线与直线的交点（为动点中的一个），再把交点向 A 的这一侧移动动点间的距离即可得到另一个动点 ． 练习：1. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上两个动点，且 PQ=3，当 CQ=______时，四边形 APQE 的周长最小．
2. 如图，在边长为 10 的菱形 ABCD 中，对角线 BD=16．点 E 是 AB 的中点，P、Q 是 BD 上的动点，且始终保持 PQ=2．则四边形 AEPQ 周长的最小值为______．(结果保留根号)
3.(2010.天津)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A,B分别在x轴、y 辅的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边 OB 的中点. (1)若 E 为边 OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标;
(2)若 E,F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E,F 的坐标.
答案：1. 53 分析：点 A 向右平移 3 个单位到 M，点 E 关于 BC 的对称点 F，连接 MF，交BC 于 Q，要使四边形 APQE 的周长最小，只要 AP+EQ 最小就行，证△MNQ∽△FCQ 即可 2. 7 85
分析:将菱形 ABCD 放置在平面直角坐标系中，使得 B 为原点，BD 在 x 的正半轴上，根据题意得出 A、B、E 三点的坐标，将 A 平行向左移动 2 个单位到 A"点，作 A"关于 x 轴的对称点 F，则 F（6，-6），连 EF，交 x 轴于点 P，在 x 轴上向正方向上截取 PQ=2，此时四边形 AEPQ 的周长最小，AQ+EP=A"P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出结论． 3. 解:(1)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,连接 CD′与 x 轴交于点 E,连接 DE.
(2)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D′,在 CB 边上截取 CG=2,连接 D′G 与 x 轴交于点 E,在 EA 上截取 EF=2.
篇四：两动一定最小值问题菱形
题 1.19 菱形的动点问题（专项练习）一、单选题1．如图，在菱形 ABCD 中，一动点 P 从点 B 出发，沿着 B→C→D→A 的方向匀速运动，最后到达点 A，则点 P 在匀速运动过程中，△APB 的面积 y 随时间 x 变化的图象大致是( )A． B．C． D．2．如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PE BC 于点 E． PFAB 于点 F．若菱形 ABCD 的周长为 20，面积为 24，则 PE PF 的值为（ ）A．4 B．245C．6 D．4853．已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 5,0 A ，4 5 OB ，点 P 是对角线 OB 上的一个动点， 0,1 D ，4 5 OB ，点 P 是对角线 OB 上的一个动点， 0,1 D ，当 CP DP 最短时，点 P 的坐标为（ ）2A． 0,0 B．11,2 C．6 3,5 5 D．10 5,7 7 4．如图，点 P，Q 分别是菱形 ABCD 的边 AD，BC 上的两个动点，若线段 PQ 长的最大值为 4 5 ，最小值为 4，则菱形 ABCD 的边长为（ ）A．5 B．10 C． 2 6 D．85．如图，四边形 ABCD 是菱形，4 2 BD ，2 6 AD ，点 E 是 CD 边上的一动点，过点 E 作 EF OC 于点 F ， EG OD 于点 G ，连接 FG ，则 FG 的最小值为( )A．52B．125C．433D．66．如图，边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，E 是异于 A、D 两点的动点，F 是 CD上的动点，满足 AE+CF＝a，△BEF 的周长最小值是（ ）
3A．32aB．3 32aC．23a D．3a7．已知菱形 , , ABCD E F 是动点，边长为 4，0, 120 BE AF BAD ，若 1 AF ，则GFEG（ ）A．13B．4 C．12D．18．已知直线1y 22x 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，C 是 y 轴上一 个动点，D 是平面内一点，若以 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形，则这样的点 D 共有（ ）A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个9．如图，菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，E 是边 AD 上一动点，将△CDE 沿 CE 折叠，得到△CFE，则△BCF 面积的最大值是（ ）A．8 B． 8 3 C．16 D． 16 310．如图 1，菱形 ABCD 中， 60 B ，动点 P 以每秒 1 个单位的速度自点 A 出发沿线段AB 运动到点 B ，同时动点 Q 以每秒 2 个单位的速度自点 B 出发沿折线 B C D 运动到点D ．图 2 是点 P 、 Q 运动时，BPQ 的面积 S 随时间 t 变化关系图象，则 a 的值是（ ）
4图 1 图 2A． 2 B． 2.5 C． 3 D． 2 311．如图，在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一动点，连结 AP，AP 的垂直平分线交 BD 于点 G，交 AP 于点 E，在 P 点由 B 点到 C 点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是( )A．变大 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．不变二、填空题12．在菱形 ABCD 中，∠BAD＝72°，点 F 是对角线 AC 上（不与点 A，C 重合）一动点，当 ADF 是等腰三角形时，则∠AFD 的度数为_____．13．菱形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（0，3 ），动点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒 1 个单位长度的速度移动，移动到第 2019 秒时，点 P 的坐标为_____．14．如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝120°，AB＝2，点 E 是 AB 边上的动点，过点 B 作直线CE 的垂线，垂足为 F，当点 E 从点 A 运动到点 B 时，点 F 的运动路径长为_____．
515．如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PE BC 于点 E, PF AB 于点 F．若菱形 ABCD 的周长为 20，面积为 24，则 PE+PF 的值为____．16．如图，在菱形 ABCD 中， 4 AB ， 60 A ，点 E 是 AB 的中点，点 F 为 AD 上一动点，将△AEF 沿 EF 折叠，得到 A EF △ ．若 A E 与菱形 ABCD 的对角线平行，则 DF 的长为________．17．如图，菱形 ABCD 的边长为 4, 60 BAD ，点 E 是 AD 上一动点(不与 A D 、 重合)，点 F 是 CD 上一动点， 4 , AE CF 则 BEF 面积的最小值为____．18．如图，在菱形 ABCD 中， 60 DAB ，3 1 AB ，点 E 在边 AD 上，且 1 DE ，点 F 为线段 AB 上一动点（不与点 A 重合），将菱形沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为点A，当点A落在菱形的对角线上时， AF 的长为__.
619．如图，线段 10 AB ，点 P 是线段 AB 上的一个动点，分别以 PA 和 PB 为边在线段 AB的同侧构造菱形 APCD 和菱形 PBFE ，且 60 DAP EPB ， M 是菱形 APCD 的对角线交点、 N 是菱形 PBFE 的对角线交点，连接 MN ，则线段 MN 的最小值为______．20．已知直线323y x 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，若点 P 是直线 AB 上一动点，点 Q 为坐标平面内的点，要使以 O A P Q 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，则点 Q 的坐标是_______．21．如图，在菱形 ABCD 中， 60 ABC ， 6 AB ，点 E 是 AD 边上的动点，过点 B 作直线 CE 的垂线，垂足为 F ，当点 E 从点 A 运动到点 D 时，点 F 的运动路径长为________．22．如图，四边形 ABCD 是菱形，点 , E F 分别在边 BC CD ， 上，其中1 1, ,3 3CE BC CF CD P 是对角线 BD 上的动点，若 PE PF 的最小值为 4 2, 6 AC ，则该菱形的面积为____________
723．如图，在菱形 ABCD 中，6 3 AB ， 60 ABC ， AE BC 于点 E ，交 BD 于点 F ．若 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，当 AFP 的面积是 9 3 时， DP 的长为__________．三、解答题24．如图，在菱形 ABCD 中， P 是 AB 上的一个动点（不与 A 、 B 重合）．连接 DP 交对角线 AC 于 E ，连接 BE ． 1 证明：
APD CBE ； 2 试问 P 点运动到什么位置时， ADP △ 的面积等于菱形 ABCD 面积的14？请说明理由．25．如图，在菱形 ABCD 中， , AC BD 交于点 O ， 8cm AC = ， 6cm BD ，动点 M 从点A 出发沿 AC 以 2cm /s 的速度匀速运动到点 C ，动点 N 从点 B 出发沿 BO 以 1cm /s 的速度匀速运动到点 O ，若点 , M N 同时出发，问出发后几秒时， MCN 的面积为22cm ？
826．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O ． E 为 AB 上一动点，过点 E 作/ /B EF D 交 AD 于点 F ，连接 BF 、 DE ．（1）若 40 ABD ，求 CAD 的度数；（2）求证：
BF DE ．27．在菱形 ABCD 中， 60 ABC ，点 P 是对角线 BD 上一动点，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 120°到 CQ ，连接 DQ ，连接 QP 并延长，分别交 AB CD 、 于点 M N 、 ．（1）求证：BCP DCQ ；（2）已知 MP QN ，若 MN 的最小值为 2 3 ，求菱形 ABCD 的面积．28．在菱形 ABCD 中， 60 ABC ，点 M 是对角线 BD 上一动点，将线段 CM 绕点 C 顺时针旋转 120 到 CN ，连接 DN ，连接 NM 并延长，分别交 AB 、 CD 于点 P 、 Q ．（1）如图 1，若 CM BD 且 4 3 PQ ，求菱形 ABCD 的面积；（2）如图 2，求证：
PMQN ．
9
10参考答案1．D【分析】分析动点 P 在 BC、CD、DA 上时，△APB 的面积 y 随 x 的变化而形成变化趋势即可．【详解】解：当点 P 沿 BC 运动时，△APB 的面积 y 随时间 x 变化而增加，当点 P 到 CD 上时，△APB的面积 y 保持不变，当 P 到 AD 上时，△APB 的面积 y 随时间 x 增大而减少到 0．故选 D．【点拨】本题为动点问题的图象探究题，考查了函数问题中函数随自变量变化而变化的关系，解答时注意动点到达临界点前后函数图象的变化．2．B【分析】连接 BP，通过菱形 ABCD 的周长为 20，求出边长，菱形面积为 24，求出 S ABC 的面积，然后利用面积法，S ABP +S CBP =S ABC ，即可求出 PE PF 的值．【详解】解：连接 BP，∵菱形 ABCD 的周长为 20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形 ABCD 的面积为 24，∴S ABC =24÷2=12，又 S ABC = S ABP +S CBP∴S ABP +S CBP =12，∴1 1122 2AB PF BC PE ，∵AB=BC，∴ 1122AB PE PF ∵AB=5，∴PE+PF=12×25=245．故选：B．
11【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出 PF+PE 的值．3．D【分析】如图，连接 AC 交 OB 于 K，作 KH⊥OA 于 H．由四边形 ABCD 是菱形，推出 AC⊥OB，A、C 关于对角线 OB 对称，推出 PC＝PC，推出 PC＋PD＝PA＋PD，所以当 D、P、A 共线时，PC＋PD 的值最小，求出直线 OB 与直线 AD 的交点即可解决问题．【详解】解：如图，连接 AC 交 OB 于 K，作 KH⊥OA 于 H．∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥OB，A、C 关于对角线 OB 对称，∴PC＝PC，∴PC＋PD＝PA＋PD，∴当 D、P、A 共线时，PC＋PD 的值最小，在 Rt△OAK 中，∵OK＝ 2 5 ，OA＝5，∴AK＝2 25 OA OK = -，∵KH⊥OA，∴KH＝•2OK AKOA= ，OH＝2 24 OK KH = -，∴K（4，2），∴直线 OK 的解析式为12y x ＝ ，直线 AD 的解析式为115y x - + ＝ ，
12由12115y xy x 解得：10757xy，∴OB 与 AD 的交点 P′10 5,7 7 ∴当点 P 与 P′重合时，CP＋DP 最短时，点 P 的坐标为10 5,7 7 ，故答案选：D．【点拨】本题考查轴对称——最短问题、坐标与图形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会构建一次函数解决交点问题，所以中考常考题型．4．A【分析】过点 C 作 CH AB ，交 AB 的延长线于 H，由题意可得当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 C重合时，PQ 有最大值，即 AC= 4 5 ，当 PQ BC 时，PQ 有最小值，即直线 CD，直线AB 的距离为 4，即 CH=4，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点 C 作 CH AB ，交 AB 的延长线于 H，∵四边形 ABCD 是菱形，
13∴AD=AB=BC，∵点 P，Q 分别是菱形 ABCD 的边 AD，BC 上的两个动点，∴当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 C 重合时，PQ 有最大值，即 AC= 4 5 ，当 PQ BC 时，PQ 有最小值，即直线 AD 与直线 BC 的距离为 4 ，4 S AD AB CH 菱形ABCD，4 CH ，2 280 16 8 AH AC CH ，2 2 2BC CH BH ，2 2(8 ) 16 BC BC ,解得：
5 BC ，故选：A．【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．5．C【解析】【分析】连接 OE，根据题意得出四边形 OFEG 为矩形，故 FG=OE，作 OE’⊥CD，即为最短，再根据勾股定理即可求解.【详解】连接 OE，∵ EF OC ， EG OD ∴四边形 OFEG 为矩形，∴FG=OE，作 OE’⊥CD，此时 OE 即为最短，∵4 2 BD ，∴OD=22 ，∵2 6 AD ，∴CD=2 6 AD ∴CO=2 2CD OD =4
14∴OE’=1212OD OCCD=12 2 4212 62 =433故选 C.【点拨】此题主要考查最短距离，解题的关键是熟知矩形的判定与性质.6．B【解析】【分析】连接 BD，可证△ABE≌△DBF，可得 BE＝BF，可得△BEF 为等边三角形，可得，△BEF的周长为 3BE，所以当 BE 垂直 AD 时，可求△BEF 的周长最小值．【详解】解：连接 BD∵ABCD 是菱形，∠DAB＝60°∴AB＝AD＝CD＝BC＝a，∠C＝∠A＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°∴△ADB，△BDC 为等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°＝∠BDC＝∠DBC，AD＝BD＝a．∵AE+CF＝a，AE+ED＝a，CF+DF＝a∴DF＝AE，DE＝CF，∵AE＝DF，BD＝AB，∠A＝∠CDB∴△AEB≌△DFB∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF
15∵∠ABE+∠DBE＝60°∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°∴△BEF 为等边三角形.∴△BEF 的周长＝3BE根据垂线段最短，即当 BE⊥AD 时，BE 值最小．在 Rt△AEB 中，AB＝a，∠A＝60°∴AE＝12a，BE＝32a∴△BEF 的周长最小值是3 32，故选 B．【点拨】本题考查轴对称﹣最短路径问题，菱形的性质，关键是证明△BEF 为等边三角形．7．A【分析】证明△AEM 是等边三角形，则 3 EM AE ，由 AF∥EM 进而解答即可．【详解】解：过点 E 作 / / EM BC 交 AC 于点 M，∵ 120 BAD ，∴60 B ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB BC ，∴△ABC 是等边三角形，∵ / / EM BC ，∴△AEM 是等边三角形，∴ 3 EM AE ，∵ / / AF EM ，∴13GF AFEG EM ．故答案选 A．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，解答本题的关键是熟练运用菱形与等边三角形的性质．
168．B【解析】试题解析：把 x=0 代入 y=122x ，得 y=2，∴点 B 的坐标是（0，2），把 y=0 代入 y=122x ，得：122x =0∴x=-4,∴点 A 的坐标为（-4，0），∴AB= 2 5∵ABCD 是菱形.∴点 D 的坐标为（-4， 2 5 ），（-4，- 2 5 +2），（0，-4），（-- 2 5 -2.-4）故选 B.9．A【分析】由三角形底边 BC 是定长，所以当△BCF 的高最大时，△BCF 的面积最大，即当 FC⊥BC时，三角形有最大面积．【详解】解：在菱形 ABCD 中，BC=CD=AB=4又∵将△CDE 沿 CE 折叠，得到△CFE，∴FC=CD=4由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积∴△BCF 面积的最大值是1 14 4 82 2BC FC 故选：A．
17【点拨】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．10．D【分析】由函数图象分析可知，动点 Q 运动到 D 时，点 P 运动到 B，整体运动停止，可得 8 BC CD ，函数图象中的点 M 表示动点 Q 运动到点 C 时的情况，据此作出几何图形，表示出 BP，PC的长度，求出 BPQ 的面积即可．【详解】由函数图象结合菱形动点图可知：点 Q 运动到点 D 时停止运动，运动过程持续 4s∴ 2 4 8 BC CD ∴ 4 AB BC CD 连接 AC，如图所示：∵P 的运动速度为每秒 1 个单位，Q 的运动速度为每秒 2 个单位∴Q 与 C 重合时，P 为 AB 中点∵ABCD 是菱形，且 60 B °∴ ABC 为等边三角形∴ CP AB
18∴ 4, 2, 2 3 BQ BP PC ∴1 12 2 3 2 32 2a BP PC 故选：D．【点拨】本题考查了函数图象分析，熟练进行几何图形的动点变化与函数图象的对比，得出所需的几何条件是解题的关键．11．D【解析】分析：连接 AC 交 BD 于 O，连接 EO、AG，根据菱形的性质得出∠AOB=90°，AO=CO，证得 A、E、G、O 四点共圆，得出∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，求出∠APG=∠EOB=∠DBC，即可求出答案．详解：连接 AC 交 BD 于 O，连接 EO、AG，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠AOB=90°，∵EG 是 AP 的垂直平分线，∴AG=PG，∠AEG=∠AOB=90°，∴A、E、G、O 四点共圆，∴∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，∴∠EOG=∠APG，∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA=OC，∵AE=PE，∴OE∥BC，∴∠EOB=∠DBC=12∠ABC，
19∵菱形 ABCD 固定，∴∠ABC 的度数固定，即∠APG 的度数不变，故选 D．点拨：本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，圆内接四边形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．12．108°或 72°【分析】利用菱形的性质求解 , DAC 再分两种情况：①DF＝AF；②AD＝AF，③ , AD DF 计算出每种情况下的 AFD 的度数即可．【详解】解：∵ ADF 是等腰三角形，①当 DF＝AF 时，∵在菱形 ABCD 中，∠BAD＝72°，∴∠DAC＝36°，∴∠ADF＝∠DAF＝36°，∴∠AFD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，②当 AD AF 时，如图 F 记为F，∵在菱形 ABCD 中，∠BAD＝72°，∴∠DAC＝36°，∴ , ADF AF D ∴180 3672 ,2AF D ③当 DA DF 时...
篇五：两动一定最小值问题菱形
题 1.13 菱形最小值问题（专项练习）一、单选题1．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，6 3 AC， 6 BD ，点 P 是 AC 上一动点，点 E 是 AB 的中点，则 PD PE 的最小值为（ ）A． 3 3 B． 6 3 C．3 D． 6 22．如图，在菱形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 上一点， Q 是 BC 中点，若菱形周长是 16，120 A ，则 PC PQ 的最小值为（ ）A．23B．2 C．3 D． 3 33．如图，在菱形 ABCD 中，6 2 AC ， 6 BD ， E 是 BC 边的中点， ,P M 分别是 , AC AB上的动点，连接 , PE PM ，则 PE PM 的最小值是（ ）A．6 B． 6 2 C． 3 2 D． 2 64．如图，已知菱形 ABCD ， AB=4 ， BAD=120 ，E 为 BC 中点，P 为对角线 BD 上一点，则 PE+PC 的最小值等于( )2A． 2 2 B． 2 3 C． 2 5 D．5．在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、G 共线，点 C 在 BE 上，∠DAB＝60°，AG＝8，点 M，N 分别是 AC 和 EG 的中点，则 MN 的最小值等于（ ）A．23B．4 C．22D．66．如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，∠A=135°，点 P 是菱形内部一点，且满足16PCD ABCDS S菱形，则 PC+PD 的最小值为（ ）A． 3 2 B． 2 11 C．6 D．737．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 6 AC ， 8 BD ，点 E F ， 分别是 AB BC ， 的中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在 PE PF 的最小值，则这个最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．68．如图四边形 ABCD 是菱形，且??s/ i ma，??sၢ 是等边三角形，M 为对角线 BD(不含B 点)上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转ma ? 得到 BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
3①若菱形 ABCD 的边长为 1,则 ? ܯ/ ? ܯ的最小值 1;②??ܯs ? ?ၢ봈s；③? 四边形?ܯsၢi ? 四边形?t/ܯ ；④连接 AN，则 ?봈 ? sၢ；⑤当 ? ? ܯs ܯ/ ? ܯ的最小值为 ? ?时，菱形 ABCD 的边长为 2.A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤9．如图，在菱形 ABCD 中， 2 AB ， 120 ABC ，点 P ， E ， F 分别是线段 AC ，AB ， BC 上的任意一点，则 PE PF 的最小值是（ ）A．1 B．3C．2 D． 13 10．如图，在菱形 ABCD 中， 135 D ， 3 2, 2 AD CE ，点 P 是线段 AC 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，则 PE PF 的最小值（ ）A． 2 2 B． 3 C． 2 5 D．1011．如图，点 P，Q 分别是菱形 ABCD 的边 AD，BC 上的两个动点，若线段 PQ 长的最大值为 4 5 ，最小值为 4，则菱形 ABCD 的边长为（ ）
4A．5 B．10 C． 2 6 D．812．如图，菱形 ABCD 的边长为 4cm ， 60 ABC ，且 M 为 BC 的中点， P 是对角线 BD上的一动点，则 PM PC 的最小值为（ ）A． 4cm B．3cmC． 2 5cm D． 2 3cm二、填空题13．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足S △ PCD =16ABCDS 菱形 ，则 PC+PD 的最小值是_____．14．如图，菱形 ABCD 的边长为 4cm ，且 60 ABC ，E 是 BC 中点，P 点在 BD 上，则 PE PC 的最小值为_______．15．如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，AC＝12，P 是菱形的对角线 AC 上的一个动点，M，N 分别是菱形 ABCD 的边 AB，BC 的中点，则 PM+PN 的最小值为_____．
516．如图，在菱形 ABCD 中， 6 3 AC ， 6 BD ， E 是 BC 边的中点， P ， M 分别是 AC ， AB 上的动点，连接 PE ， PM ，则 PE PM 的最小值是__________．17．如图，在菱形 ABCD 中，已知 120 BAD ， 6 AB ，把 ABD △ 沿 BD 方向移动得到1 1 1AB D ，连接1AC 、1BC ，则1 1AC BC 的最小值为______．18．如图，在菱形 ABCD 中， 8 AC ， 6 BD ，点 E，F 分别是边 AB ， BC 的中点， P是 AC 上的动点，那么 PE PF 的最小值是_______.19．如图，线段 10 AB ，点 P 是线段 AB 上的一个动点，分别以 PA 和 PB 为边在线段 AB的同侧构造菱形 APCD 和菱形 PBFE ，且 60 DAP EPB ， M 是菱形 APCD 的对角线交点、 N 是菱形 PBFE 的对角线交点，连接 MN ，则线段 MN 的最小值为______．
620．如图，在菱形 ABCD 中，2 2 AB , 120 A ,点 P , Q , K 分别为线段 BC ， CD ，BD 上的任意一点，则 PKQK 的最小值为__________．21．如图，P、G 是菱形 ABCD 的边 BC、DC 的中点，K 是菱形的对角线 BD 上的动点，若BD＝8，AC＝6，则 KP+KG 的最小值是_____．22．如图，四边形 ABCD 是菱形， A B=6，且∠ABC=60° ，M 是菱形内任一点，连接 AM，BM，CM，则 AM+BM+CM 的最小值为________．23．如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分 ABCD 是一个菱形。菱形周长的最小值是_________，菱形周长最大值是_________.24．如图，在边长为 2cm 的菱形 ABCD 中， 60 B ， E 是 BC 边的中点， P 是对角线 BD
7上的动点，连接 EP ， CP ，则 EP CP 的最小值______．25．如图，在菱形 ABCD 中， 8 AB ， 60 B ，点 G 是边 CD 的中点，点 E 、 F 分别是 AG 、 AD 上的两个动点，则 EF ED 的最小值是_________.26．如图，菱形 ABCD 的边长为 1, 60 ABC ． , E F 分别是 , BC BD 上的动点，且CE DF ,则 AE AF 的最小值为_______．27．如图，在 ABC 中，3 3, 45 , 105 AB B C ，点 D、E、F 分别在 AC 、BC 、 AB 上，且四边形 ADEF 为菱形，则菱形的边长为_____；若点 P 是 AE 上一个动点，则 PF PB 的最小值为_____．28．如图，点 P，Q 分别是菱形 ABCD 的边 AD 、 BC 上的两个动点，若线段 PQ 长的最大值为 8 5 ，最小值为 8，则菱形 ABCD 的边长为________．
829．已知菱形 ABCD 中， 120 A ， 4 AB ，边 , AD CD 上有点 E、 点 F 两动点，始终保持 DE DF ，连接 , , BE EF 取 BE 中点 G 并连接 , FG 则 FG 的最小值是_______．30．如图，在菱形 ABCD 中， 30 ABC ， 6 AD ，点 P，M 分别是边 AB 和对角线 BD上的动点，则 AM PM 的最小值为_________．31．在菱形 ABCD 中， 2, 60 AB BAD ，点 E 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE PB 的最小值为_______．32．菱形 ABCD 中， 60 ABC ， 4 AB ， E 为 BC 的中点，点 P 是对角线 BD 上一动点，连接 PE CP 、 ，则 CPE △ 的周长的最小值为_________．
933．在菱形 ABCD 中，∠C＝∠EDF＝60°，AB＝1，现将∠EDF 绕点 D 任意旋转，分别交边 AB、BC 于点 E、F（不与菱形的顶点重合），连接 EF，则△BEF 的周长最小值是_____.34．如图，在菱形 ABCD 中， 4, 120 AB A ，点 P 为 BC 的中点， , Q K 分别为线段 , CD BD 上的任意一点，则 PK QK 的最小值为______．35．如图，四边形 ABCD 是菱形，点 , E F 分别在边 BC CD ， 上，其中1 1, ,3 3CE BC CF CD P 是对角线 BD 上的动点，若 PE PF 的最小值为 4 2, 6 AC ，则该菱形的面积为____________36．如图，在菱形 ABCD 中， 8 AC ， 6 BD . E 、 P 分别是线段 AB 、 AC 上的任意一点，则 PB BE 的最小值为________.
10三、解答题37．如图，在菱形 ABCD 中， 2 AB ， 60 DAB ， F 为 AC 上一动点， E 为 AB 中点．（1）求菱形 ABCD 的面积；（2）求 EF BF 的最小值．38．（ 12 分）在菱形 ABCD 中， 6 AB ，60 B ，点 E 是线段 BC 上的一个动点．（ 1 ）如图①，求 AE 的最小值．（ 2 ）如图②，若 F 也是 CD 边上的一个动点，且 BE CF ，求 EF 的最小值．（ 3 ）如图③，若 tan3 3 AEC ，则在菱形内部存在一点 P ，使得点 P 分别到点 E 、点 C 、边 AD 的距离之和最小．请你画出这样的点 P ，并求出这个最小值．39．在菱形 ABCD 中， 60 ABC ，点 P 是对角线 BD 上一动点，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 120°到 CQ ，连接 DQ ，连接 QP 并延长，分别交 AB CD 、 于点 M N 、 ．（1）求证：BCP DCQ ；（2）已知 MP QN ，若 MN 的最小值为 2 3 ，求菱形 ABCD 的面积．
1140．如图，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠A＝120°，点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、BD 上的任意一点，求 PK＋QK 的最小值．41．如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 AD、CD 上的动点(都与菱形的顶点不重合)，联结 EF、BE、BF ．（1）若∠A＝60°，且 AE+CF＝AB，判断△BEF 的形状，并说明理由；（2）在（1）的条件下，设菱形的边长为 a，求△BEF 面积的最小值．42．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，点 E 是边 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，若 AB＝23 ，求 PB+PE 的最小值是多少？
12参考答案1．A【分析】连接 DE ，先根据两点之间线段最短可得当点 , , D P E 共线时， PD PE 取得最小值DE ，再根据菱形的性质、勾股定理可得 6 AB ，然后根据等边三角形的判定与性质求出DE 的长即可得．解：如图，连接 DE ，由两点之间线段最短得：当点 , , D P E 共线时， PD PE 取最小值，最小值为 DE ， 四边形 ABCD 是菱形，6 3 AC， 6 BD ，1 1, 3, 3 3,2 2AB AD OB BD OA AC AC BD ，2 26 AB OA OB ，6 AB AD BD ，ABD 是等边三角形， 点 E 是 AB 的中点，13,2AE AB DE AB ，2 2 2 26 3 3 3 DE AD AE ，即 PD PE 的最小值为 3 3 ，故选：A．【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．2．A【分析】
13点 Q 和点 C 是定点，点 P 在直线 BD 上一动点，是轴对称最值问题，连接 AC ，由菱形的对称性可知，点 A 和点 C 关于 BD 对称，连接 AQ ， AQ 即为所求．解：如图，由菱形的对称轴可知，点 A 和点 C 关于 BD 对称，连接 AQ ， AQ 即为所求 PC PQ 的最小值．连接 AC ，120 BAD ，四边形 ABCD 是菱形，60 ABC ， AB BC ，ABC 是等边三角形， 点 Q 为 BC 的中点，AQ BC ， 菱形 ABCD 的周长为 16，4 AB BC ，在 Rt ABQ △ 中， 60 ABC ，30 BAQ ，1 14 22 2BQ AB ，2 2 2 24 2 2 3 AQ AB BQ ．故选：A．【点拨】本题考查的是轴对称 最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．3．D【分析】作点 E 关于 AC 的对称点 E′，过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M，交 AC 于点 P，点 P、M 即
14为使 PE＋PM 取得最小值的点，由 PE＋PM＝PE′＋PM＝E′M 利用 S 菱形 ABCD ＝12AC•BD＝AB•E′M 求解可得答案．解：如图，作点 E 关于 AC 的对称点 E′，过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M，交 AC 于点 P，则此时点 P、M 使 PE＋PM 取得最小值的，其 PE＋PM＝PE′＋PM＝E′M，∵四边形 ABCD 是菱形，∴点 E′在 CD 上，∵6 2 AC ，BD＝6，∴AB＝2 2(3 2) 3 3 3 + =，由 S 菱形 ABCD ＝12AC•BD＝AB•E′M 得12× 6 2 ×6＝ 3 3 •E′M，解得：E′M＝ 2 6 ，即 PE＋PM 的最小值是 2 6 ，故选：D．【点拨】本题主要考查菱形的性质和轴对称−最短路线问题，解题的关键是掌握利用轴对称的性质求最短路线的方法．4．B【解析】【分析】连接 AC、AE，AE 交 BD 于 F，连接 FC，由菱形的性质可得 BD 垂直平分 AC，根据垂直平分线的性质可知 AF=CF，FC+FE=AE，根据两点之间，线段最短可知，P 点运动到 F时，PE+PC 的值最小，由∠BAD=120°可得∠ABC=60°，根据菱形的性质可得△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出 AE 的长即可.
15解：连接 AC、AE，AE 交 BD 于 F，连接 FC，∵ABCD 是菱形，∴BD 垂直平分 AC，∴AF=FC，∴FC+FE=AE，∵两点之间，线段最短，∴P 点运动到 F 时，PE+PC 的值最小，最小值为 AE 的长，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∵AB=BC，∴△ABC 是等边三角形，∵E 为 BC 中点，∴AE⊥BC，BE=12BE=2，∴AE=2 2AB BE =2 24 2 =23 .故选 B.【点拨】本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角.熟练掌握菱形的性质是解题关键.5．A【分析】连接 BD、BF，延长 AC 交 GE 于 H，连接 BH，证明四边形 BNHM 是矩形，得出 MN=BH，由直角三角形的性质得出 GH，AH 的长，当 BH⊥AG 时，BH 最小，由直角三角形的性质得出 BH 的长，即可得出答案．解：连接 BD、BF，延长 AC 交 GE 于 H，连接 BH，如图所示：
16∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是菱形，∠DAB=60°，∴AD∥BC∥GF，AC⊥BD，BF⊥GE，BE=BG，AM=CM，EN=GN，∴∠GAH=30°，∠EBG=∠DAB=60°，∴△BEG 是等边三角形，∴∠BGE=60°，∴∠AHG=90°，∴四边形 BNHM 是矩形，GH12 AG=4，AH3 GH=43 ，∴MN=BH，当 BH⊥AG 时，BH 最小．∵∠GAH=30°，∴BH12 AH=23 ，∴MN 的最小值=2 3 ．故选 A．【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及线段最短问题；熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．6．B【解析】【分析】在BC上截取点E使CE=13BC=2,过点E作EF//AB，交AD于点F，由16PCD ABCDS S菱形可知点 P 线段 EF 上，作 C’与 C 关于 EF 对称，连接 DC’，则 DC’的长即是 PC+PD 的最小值.解：在 BC 上截取点 E 使 CE=13BC=2,过点 E 作 EF//AB，交 AD 于点 F，∴13DCEF ABCDS S 菱形∴当点 P 在线段 EF 上是时，16PCD ABCDS S菱形.作 C’与 C 关于 EF 对称，连接 DC’，则 DC’的长即是 PC+PD 的最小值.
17由题可知，sin45 3 2 EM AB ,∴" 3 2 2 MC ,3 2 2 MD ,由勾股定理得， 2 2" 3 2 2 3 2 2 2 11 DC .故选 B.【点拨】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质及最短路径问题.根据题意确定点 P 的位置是解题的关键.7．C【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作 E 关于 AC 的对称点 E′，连接 E′F，则 E′F 即为 PE＋PF 的最小值，再根据菱形的性质求出 E′F 的长度即可．解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC＝6，BD＝8，∴AB＝2 23 4 ＝5，作 E 关于 AC 的对称点 E′，连接 E′F，则 E′F 即为 PE＋PF 的最小值，∵AC 是∠DAB 的平分线，E 是 AB 的中点，∴E′在 AD 上，且 E′是 AD 的中点，∵AD＝AB，∴AE＝AE′，∵F 是 BC 的中点，∴E′F＝AB＝5．故选 C．【点拨】本题考查的是轴对称−最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质是解答此题的关键．
188．C【解析】解答：
解：①连接 AC，交 BD 于点 O，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO∴点 A，点 C 关于直线 BD 对称，∴M 点与 O 点重合时 AM+CM 的值最小为 AC 的值∵∠ABC=60，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC，∵AB=1，∴AC=1，即 AM+CM 的值最小为 1，故本答案正确．②∵△ABE 是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确．③∵S △ ABE +S △ ABM =S 四边形 AMBES △ ACD +S △ AMC =S 四边形 ADCM ，且 S △ AMB ≠S △ AMC ，∴S △ ABE +S △ ABM ≠S △ ACD +S △ AMC ，∴S 四边...
篇六：两动一定最小值问题菱形
文学赦与学 2016牟 。解题思路与方法O 以菱形为背景的最小值问题 张安军 (浙江省台州市白云学校 ，318O0) 本文探究 以菱形为背景的最小值问题． 旨在通过对数学知识内在实质的追根溯源，突出解题的转化过程，培养学生的解题能力 。
促进学生的思维发展． 一、 菱形中的动点 1．一个动点 例 1 如图 1，菱形ABCD中，／ __BAD = 60。，点 肼是 AB的中点，点 P是对角线 AC上 一个动点，若 PM+PB的最小值是 3，则 AB的 长为 ．
D B 图 I C 图 2 解析 如图2所示，B、D两点关于直线 AC对称，连结 DM交AC于点 P，则 pM PB = DM． 根据两点间的线段最短，得AB =2 ． 2．二 个动 点 例2 如图3，菱形ABCD中，AB=2，厶4 60。，点 P，Q分别为线段AB,BC上的任意两 点 ，且 ／ _PDQ = 60。，则 PQ 的最 小值 是 ． ．．．．．． ．．．．． ．．．．．． ． ． ． 一 ． 解析 如图4所示，连结 BD，可证得 △A卯 △BDQ． 设AP =BQ= ，贝 有 PB=2一 ， PQ =3(x一1) +1．
当 =1时，PQ有最小值为 1．
·】2 · B 图 3 D 8 图 4 3．三个动 点 例 3 如图5，菱形ABCD中；AB盆2，
A =120~．点 P,Q，K分别为线段 BC，CD，BD上 的任意一点，则尸 +QK的最小值为 。
C 图 5 图 6 解析 由图6所示 ，作点 P关于直线 BD 的对称点P。，过P，点作P。Q上cD，则P。Q为 最短。故 P +QK的最小值为 ． 二 、菱形中的动线 例4 如图 7，在边长为 2的菱形 ABCD 中，厶4=60。，M是AD边 的中点 ，Ⅳ是 AB边上 的一动点 ，将 ZXAMN沿 MN所在直线翻折得 到 △A MN，连结 A C，则 A c长度的最小值是 ．． ．．． ． ．． ．．． ．．．．． ．． _ ． 解析 因为MA 是定值，故当A C的长度 最小时 ，点 A 在 MC上． 过点 作 MF上DC于点 ，，如图7． ·．‘在边长为2的菱形 ABCD中， A =60。，．‘．CD = 2，Z．ADC = 120。．
第 J JI峥 ．。． LFDM ；60。， FMD =30。， ．·．FD年 ； D=号，
FM ； MD ⋯ s 萼 ，‘． MC ； ~／FM2+C =√7， ——‘—，—— ——’ 一 ． A‘c MC—MA‘：MC—MA=、『i 11 F D A N B 图 7 三，菱形中的圆 1．动点在一个圆上 例 5 如图8，菱形 ABCD，对角线 AC和 BD相交于点 0，且AC=6，BD ；8，O0的半 径为 1，点 P是线段 AD上一动点，过点 P作 OO的切线 P9，切点为 Q，则切线 PQ长的最 小值是一
＼ D G 图 8 解析 PQ =D尸2 09 军0J P2，1， 只有当 OP取到最小值时，PQ才达到最 小值，故当DP上AD时，即 OP = 时， PQ值最小 ，最小为 ．
2．动点在二个圃上 例 6 如图9，菱形ABCD中， A；60。， AB ；3，QA、C)D的半径分别为 和 1，P、E、F 分别是边 CB、GD和 pA上的动点，则 PE+ PF的最小值是一
解析 由图 lO所示，连结PD，PA交 oD 和 oA于 E，F点，则 初 中文学教 与学 PE +pF ：
PD +PA 一3． 这样，转化成一动点和两定点 ，而 PD+ I的最小值为6， 故 PE+PF的最小值为3．
C 图 9 图 10 C 总结 上述以菱形为背景，以动点、动线 和动点在圆上为载体，求这一类问题的最小 值 ，解决这类问题的重要策略之一 ，就是化繁 为简，提炼模型，概括出“基本图形”．那么上 述这一类问题的“基本图形”是什么呢?其实 质如图 ll、图 12、图 l3三种基本模型：
：一 ／ P 图 l1 图 l2 P 一
Al A 2 A 3 A4 A As J46 A7 图 13 策略之二是合理想象 ，化动为静．把多动 点中某一动点先看作静点，这样就能达到化 动为静 ，化一般为特殊，从中寻找动点 P的规 律．当清楚 P的规律后，再变成两个动点，一个 定点 ，到最后为三个动点．在化动为静的过程 中寻找规律 ，发现不变 的数量关系和位置关 系，从而达到解题的目的．
策略之三是建立函数和方程模型．从问 题中的已知量出发 ，去分析问题中变量之间 的关系，然后建立方程或函数 ，从而突破难 点，解决问题． ·】3 ·
篇七：两动一定最小值问题菱形
19 章 矩形、菱形与正方形特殊四边形中的动点问题及最值问题专题( ( 九) )类型一 特殊四边形中的动点问题1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝14 cm，点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向以每秒 2 cm 的速度向终点 A 运动；同时，动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向以每秒 1.5 cm 的速度向终点 B 运动，将△BPQ 沿 BC 翻折，点 P 的对应点为点 P′，设点P、Q 运动的时间为 t s，要使四边形 BPQP′为菱形，则 t 的值为 BA．2 B．4 C. 145D. 72
2．(2018·河南)如图①，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A→D→B 以 1 cm/s的速度匀速运动到点 B，图②是点 F 运动时，△FBC 的面积 y(cm2 )随时间 x(s)变化的关系图象，则 a 的值为 CA. 5 B．2 C. 52D．2 5
3．如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 上一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB的平分线于点 E，交∠ACH 的平分线于点 F.(1)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？(2)当 O 是 AC 上怎样的点，且 AC 与 BC 具有什么关系时，四边形 AECF 为正方形？
解：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠HCF.又∵CE 平分∠BCO，CF 平分∠HCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠HCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO＝FO.(1)当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形，理由如下：当点 O 运动到AC 的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形 AECF 是平行四边形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO＋CO＝EO＋FO，即 AC＝EF，∴四边形 AECF 是矩形．(2)当点 O 运动到 AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB＝90°时，四边形 AECF 是正方形．理由如下：∵由(1)知当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形，又∵MN∥BC，∠ACB＝90°，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形 AECF 为正方形．
类型二 特殊四边形中的最值问题4．(2018·新疆)如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点M、N 分别是 AB、BC 边上的中点，则 MP＋PN 的最小值是 BA. 12B．1 C. 2 D．2,第 4 题图)
,第 5 题图)5．如图，正方形 ABCD 的面积为 16，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为 BA．2 B．4 C.6 D．8
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 是 AB 的中点，E、F 分别是 AC、BC 上的点(点 E 不与点 A、C 重合)，且 AE＝CF，连结 EF 并取 EF 的中点 O，连结 DO 并延长至点 G，使 GO＝OD，连结 DE、DF、GE、GF.(1)求证：四边形 EDFG 是正方形；(2)直接写出四边形 EDFG 面积的最小值和点 E 的所在的位置．
解：(1)证明：连结 DC，∵O 是 EF 的中点，GO＝OD，∴四边形 EDFG 是平行四边形．∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴四边形 EDFG 是菱形．∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°.∴四边形 EDFG 是正方形．(2)当 DE⊥AC，即点 E 为线段 AC 的中点时，线段 DE 的值最小，故四边形 EDFG 的面积最小，最小值为 4.
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