两动一定最小值问题3篇两动一定最小值问题 中考热点问题”双动点问题”的处理方法总结 动点问题是中考数学必考的重难点问题，大多数同学都是“谈动下面是小编为大家整理的两动一定最小值问题3篇,供大家参考。
篇一：两动一定最小值问题
热点问题 ” 双动点问题 ” 的处理方法总结动点问题是中考数学必考的重难点问题，大多数同学都是 “ 谈动色变 ” ，选择直接放弃的更是大有人在。
解决动点问题，大家一定不要被其 “ 动 ” 所吓倒，我们要充分发挥空间想象能力， “ 动 ” 中求 “ 静 ” ，化 “ 动 ” 为 “ 静 ” ，利用已知条件和所学知识点，寻找和所求相关的不变量和确定关系，这样，题目就化难为易了。
动点问题一般分为点动、线动和面动这三种类型，本节我们主要学习两类较难的动点问题。
一. . 不关联双动点问题
对于不关联的双动点问题，我们采用 “ 控制变量法 ” ，我们先控制其中一个点不 动，分析另一个点运动轨迹，之后再让这个点运动起来，这样我们可以使问题更直观，思路更清晰。
我们先来看一道例题：
例 例 1. 如图，C RT△ABC 中， AC=3， ， AB=4， ，D D、 、E E 分别是 AB、 、C AC 上的两个动点，将 △ADE沿着 E DE 翻折，A A 点落在 A′ 处，求 C A′C 的最小值。
【简答】首先，我们固定 D D 点不动，使 E E 点动起来，随着 E E 点的运动， A′ 始终在以 D D 为圆心，A DA 为半径的圆上运动（如图 1 1 ），
图 图 1 1
只有当 C C 、 A′ 、D D 三点共线时，C A′C 是最短的（如图 2 2 ）；
图 图 2 2
然后我们让 D D 点也动起来，随着 D D 点的运动，圆 D D 的半径会发生 变化，圆的半径越大，离 C C 点就越近，因此，当 D D 与 与 B B 重合时，圆离 C C 点的距离最近，再，移动 E E 点，使得 A′ 落在 C BC 上，此时 C C 、 A′ 、D D 三定共线（如图 3 3 ）， CA′ 最小为 5 5− − 4=1.
图 图 3 3
二. . 多动点联动问题
对于多个点运动并且是联动的这类问题，我们采用相对运动法，可以让这多个点静止，让原本的定点动起来，这样减少了动点的个数，使得问题简单化。（原则是：让数量少的点动，让数量多的点休息）
如下面这道天津中考题的最后一问。
例 例 2. 在平面直角坐标系中，四边形 C AOBC 是矩形，点 O O 的坐标为（0 0 ，0 0 ），点 A A的坐标为（5 5， ，0 0 ），点 点 B B 的坐标为（0 0， ，3 3）
）. . 以点 A A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC ，得到矩形 ADEF ，点 O O ，B B ，C C 的对应点分别为 D D ，E E ，F F ．
（1 1 ）如图 ① ，当点 D D 落在 C BC 边上时，求点 D D 的坐标. .
（2 2 ）如图 ② ，当点 D D 落在线段 E BE 上时，连接 AB ，D AD 与 与 C BC 交于点 H.
① 求证：
△ADB≌△AOB ；
② 求点 H H 的坐标. .
（3 3 ）记 K K 为矩形 C AOBC 对角线的交点，S S 为E △KDE 的面积，求 S S 的取值范围（直接写出结果即可）. .
例 例 3. 直线 l l 外有一点 D D ，点 D D 到直线的距离为 3 3 ，让腰长为 2 2 的等腰直角三角板C ABC 在直线 l l 上滑动，则 则 D AD+CD 的最小值为
. .
练习反馈: 1.
点 点 P P 是∠B AOB 内部一点，在 A OA 上找到一点 M M ，B OB 上找到一点 N N 使得三角形N PMN 的周长最小
2.
如图所示，点 P P 是∠B AOB 内任意一点， OP=5cm ，点 M M 和点 N N 分别是射线 A OA 和射线 B OB 上的动点，△N PMN 周长的最小值是 5cm ，则∠B AOB 的度数是（
）
3.
如图所示，已知点 C C （1 1 ，0 0 ），直线 y= ﹣7 x+7 与两坐标轴分别交于 A A ，B B 两点，D D ，E E 分别是 AB ，A OA 上的动点，则E △CDE 周长的最小值是 ________ ．
4 4. .
如图，已知直线2 1 //ll ，直线之间的距离为 8 8 ，点 P P 到直线1l 的距离为 6 6 ，点 Q Q到直线2l
的距离为 4 4 ， PQ= 30 4 ，在直线1l 上有一动点 A A ，直线2l 上有一动点 B B ，满足 AB ⊥2l ，且 Q PA+AB+BQ 最小，此时 PA+BQ=
5 5. .
如图，∠ AOB=30 °，点 M M 、N N 分别在边 OA 、B OB 上，且 OM=1 ， ON=3 ，点 P P 、Q Q分别在边 OB 、A OA 上，则 N MP+PQ+QN 的最小值是 _____ ．
6 6. .
如图，在等边三角形 C ABC 中， BC=6cm ．射线 AG ∥ BC ，点 E E 从点 A A 出发沿射线G AG 以 以 s 1cm/s 的速度运动，同时点 F F 从点 B B 出发沿射线 C BC 以 以 s 2cm/s 的速度运动，设运动时间为 t.
（1 1 ）连接 EF ，当 F EF 经过 C AC 边的中点 D D 时，求证：△ ADE ≌△ CDF ；：
(2)①当 当 t t 为s ______s 时，四边形 E ACFE 是菱形；
②当 t t 为s ______s 时，以 A A 、F F 、C C 、E E 为顶点的四边形是直角梯形．
7 7. .
在菱形 D ABCD 中，∠ B=60 °，点 E E 在射线 C BC 上运动，∠ EAF=60 °，点 F F 在射线 线 D CD 上
（1 1 ）当点 E E 在线段 C BC 上时（如图 1 1 ），求证：
EC+CF=AB ；
（2 2 ）当点 E E 在 在 C BC 的延长线上时（如图 2 2 ），线段 EC、 、 CF、 、B AB 有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明．
8.
如图 1 1 ，二次函数 y= ﹣x x2 2 c+bx+c 的图象过点 A A （3 3 ，0 0 ），B B （0 0 ，4 4 ）两点，动点P P 从 从 A A 出发，在线段 B AB 上沿 B A→B 的方向以每秒 2 2 个单位长度的速度运动，过点P P 作 作 y PD⊥y 于点 D D ，交抛物线于点 C C ．设运动时间为 t t （秒）．
(1) 求二次函数 y= ﹣x x2 2 c+bx+c 的表达式；
(2) 连接 BC ，当 t= 时，求P △BCP 的面积；
(3) 如图 2 2 ，动点 P P 从 从 A A 出发时，动点 Q Q 同时从 O O 出发，在线段 A OA 上沿 A O→A 的方向以 1 1 个单位长度的速度运动．当点 P P 与 与 B B 重合时 ，P P 、Q Q 两点同时停止运动，连接 DQ， ， PQ ，将Q △DPQ 沿直线 C PC 折叠得到 △DPE ．在运动过程中，设E △DPE 和 △OAB重合部分的面积为 S S ，直接写出 S S 与 与 t t 的函数关系及 t t 的取值范围．
篇二：两动一定最小值问题
值系列之—— 将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】
如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ AB将军军营河 【问题简化】
如图，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？ PBA 【问题分析】
这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】
作点 A 关于直线的对称点 A’，连接 PA’，则 PA’=PA，所以 PA+PB=PA’+PB A "ABP
当 A’、P、B 三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
折点端点A "PBA
【思路概述】
作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】
在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得△PMN 周长最小． MNP""P"NMBAPOOPAB 此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线）、OB（折点 N 所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP 为 P’M+MN+NP’’，当 P’、M、N、P’’共线时，△PMN 周长最小．
【例题】如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________． POBAMN 【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P’、P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．
P"P""NMABOP 当 P’、N、M、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段 P’P’’长，连接 OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以 P’P’’=OP’=OP=8． POBAMNP""P" 【两定两动之点点】
在 OA、OB 上分别取点 M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。
Q"P"MNBAPOQ QOPABNM 考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于OA、OB 对称，化折线段 PM+MN+NQ 为 P’M+MN+NQ’，当 P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
【一定两动之点线】
在 OA、OB 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最小。
P"MNBAPO OPABNM
此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P’，将折线段 PM+MN 转化为 P’M+MN，即过点 P’作 OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
三、几何图形中的将军饮马
【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】
1．正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】
如图，正方形 ABCD 的边长是 4，M 在 DC 上，且 DM=1， N 是 AC 边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________． NMDCBA 【分析】考虑 DM 为定值，故求△DMN 周长最小值即求 DN+MN 最小值． 点 N 为折点，作点 D 关于 AC 的对称点，即点 B，连接 BN 交 AC 于点 N，此时△DMN 周长最小． NABCDM
【假装不存在的正方形】
（2019·山东聊城）如图，在 Rt△ABO 中，∠OBA=90°，A（4,4），点 C 在边 AB 上， 且 AC:CB=1:3，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为 (
)
yxPO DCBA A． (2,2)
B．5(2，5 )2 C．8( 3 ，8 )3 D． (3,3)
【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称：
D"ABCD OPxy 也可以作点 C 的对称：
C"ABCD OPxy 【隐身的正方形】
（2017·辽宁营口）如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为 (
)
PDCBA A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C’，当 C’、P、D 共线时，PC+PD 最小，最小值为 5，故选 B． C"PDCBA 2．三角形中的将军饮马 【等边系列】
如图，在等边△ABC 中，AB=6， N 为 AB 上一点且 BN=2AN， BC 的高线 AD 交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是___________． AB CDMN 【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值．
AB CDMN 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7． HNMDC BA
【隐身的等边三角形】
如图，在 Rt△ABD 中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N 为 AB 上一点且 BN=2AN， M 是AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是___________． NMDBA
【分析】对称点并不一定总是在已知图形上． AB CDMN
【角分线系列之点点】
（2018·山东潍坊）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD 平分∠CAB，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 (
)
EAFC DB A．3 B．4 C． 3 3
D． 2 3
【分析】此处 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C’在 AB 上且在 AB 中点，化折线段 CE+EF 为 C’E+EF，当 C’、E、F 共线时得最小值，C’F 为 CB 的一半，故选 C． C"AFECDB
【角分线系列之点线】
（2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，∠ABC=60°， BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 (
)
NMDCBA A． 3
B．2 C． 2 3
D．4
【分析】此处 M 点为折点，作点 N 关于 BD 的对称点，恰好在 AB 上，化折线 CM+MN 为CM+MN’． N"ABCDMN 因为 M、N 皆为动点，所以过点 C 作 AB 的垂线，可得最小值，选 C． NMDCBAN"
3．矩形、菱形中的将军饮马 【菱形高】
（2018 广西贵港）如图，在菱形 ABCD 中，AC= 6 2 ，BD=6，E 是 BC 的中点，P、M 分别是 AC、AB 上的动点，连接 PE、PM，则 PE+PM 的最小值是 (
)
EPDCBAM A．6 B． 3 3
C． 2 6
D．4.5
【分析】此处 P 为折点，作点 M 关于 AC 的对称点 M’，恰好在 AD 上，化折线 EP+PM 为EP+PM’． M"EPDCBAM 当 E、P、M’共线时，EP+PM 最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：AC·BD/2=BC·EM’ M"MABCPE
【折点在边上】
（2017 山东菏泽）如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（-4,5），D 是 OB 的中点，E 是 OC上的一点，当△ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是 (
)
EODCBAxy A．4(0, )3 B．5(0, )3 C． (0,2)
D．10(0, )3
【分析】点 E 为折点，E 是 y 轴上一点，作点 D 关于 y 轴的对称点 D’，连接 AD，与 y 轴交点即为所求 E 点． D"EO DCBAxy 【折点与面积】
（2019 西藏）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=3，动点 P 满足13PAB ABCDS S矩形，则点P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 (
)
D CBAP A． 2 13
B． 2 10
C． 3 5
D． 41
【分析】由13PAB ABCDS S矩形可作出 P 点轨迹为直线 MN（AM=BN=2），作点 B 关于 MN 的对称点 B’，化折线 PA+PB 为 PA+PB’．
B"M NDCBAP 当 A、P、B’共线时，取到最小值，选 A． 64PABCDN MB" 【全等与对称】
（2017 江苏南通）如图，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD各边上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为 (
)
HFGED CB A A． 5 5
B． 10 5
C． 10 3
D． 15 3
【分析】考虑到四边形 EFGH 是平行四边形，即求 EH+EF 最小值，此处 E 为折点，作 F关于 AB 对称点 F’，则 BF’=BF=DH=CM，∴MF’=BC=5，MH=DC=10，∴HF’为 5 倍根号 5，周长最小值为 10 倍根号 5，故选 B． 510F"M HFGED CB A
四、特殊角的对称 【60°角的对称】
（2018 滨州）如图，∠AOB=60°，点 P 是∠AOB 内的定点且 OP= 3 ，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小值是 (
)
ABMOPN A．3 62 B．3 32 C．6 D．3
【分析】此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 的对称点 P’、P’’，化△PMN 周长为 P’N+NM+MP’’． P""P"ABMOPN 当 P’、N、M、P’’共线时，得最小值，利用 60°角翻倍得∠P’OP’’=120°，OP’=OP’’=OP，可得最小值． 333120°NPOMBAP"P""
【30°角的对称】
（2017 湖北随州）如图，∠AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点 N（3,0）是 OB 上的一定点，点 M 是 ON 的中点，∠AOB=30°，要使 PM+PN 最小，则点 P的坐标为
． N MPOBAxy
【分析】此处点 P 为折点，作点 M 关于 OA 的对称对称点 M’如图所示，连接 PM’，化 PM+PN为 PM’+PN．
30°30°M"N MPOBAxy 当 M’、P、N 共线时，得最小值，又∠M’ON=60°且 ON=2OM’，可得∠OM’N=90°，故 P 点坐标可求． MyxABOPNM"30°30°
【20°角的对称】
如图，已知正比例函数 y=kx（k>0）的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70°，定点 A 的坐标为（0，4），P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 y=kx （k>0）的图像上的两个动点，则 AM+MP+PN的最小值为____________． PAMNO xy 【分析】先考虑 M 为折点，作点 P 关于 OM 对称点 P’，化 AM+MP+PN 为 AM+MP’+P’N P"PAMNO xy 此处 P’为折点，作点 N 关于 OP’对称点 N’，化 AM+MP’+P’N 为 AM+MP’+P’N’ P"N"yx ONMAP 当 A、M、P、’N’共线且 AN’⊥ON’时，值最小． MP"AO xyN"
最值系列之—— 将军饮马（二）
【将军过桥】
已知将军在图中点 A 处，现要过河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 河B 军营A 将军NM 考虑 MN 长度恒定，只要求 AM+NB 最小值即可．问题在于 AM、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使 AM 与 NB 连在一起，将 AM 向下平移使得 M、N 重合，此时 A 点落在 A’位置． A" 河B 军营A 将军NM 问题化为求 A’N+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． A" 河B 军营A 将军NM 【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】
【将军过两个桥】
已知将军在图中点 A 处，现要过两条河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 军营将军河河QABMNP 考虑 PQ、MN 均为定值，所以路程最短等价于 AP+QM+NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起． B"A"QABMNP AP 平移至 A’Q，NB 平移至 MB’，化 AP+QM+NB 为 A’Q+QM+MB’． PNMBAQA"B" 当 A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定 P、N 位置．
【将军遛马】
如图，将军在 A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【问题简化】已知 A、B 两点，MN 长度为定值，求确定 M、N 位置使得 AM+MN+NB 值最小？ MN将军 A军营B河 【分析】考虑 MN 为定值，故只要 AM+BN 值最小即可．将 AM 平移使 M、N 重合，AM=A’N，将 AM+BN 转化为 A’N+NB． A"BAN M 构造点 A 关于 MN 的对称点 A’’，连接 A’’B，可依次确定 N、M 位置，可得路线． A""M NABA" 【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 在原点，点 A、C 在坐标轴上，点 D 的坐标为（6，4），E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，要使四边形 APQE 的周长最小，则点 P 的坐示应为______________． EyxB ( )QACDOP
【分析】考虑 PQ、AE 为定值，故只要 AP+QE 最小即可，如图，将 AP 平移至 A’Q，考虑A’Q+QE 最小值． A"PODCAQB ( )xyE 作点 A’关于 x 轴的对称点 A’’，连接 A’’E，与 x 轴交点即为 Q 点，左移 2 个单位即得 P 点． A""A"AB ( ) OP QCED
【练习】如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=4，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 EF⊥AC 于点 M，连接 AF、CE，求 AF+CE 的最小值． AB CDEFM 【分析】此题难点在于要得到 AF 与 CE 之间的关系，方能将这两条线段联系到一起．过点E 作 EH⊥CD 交 CD 于 H 点，由相似可得：FH=1．
1HAB CDEF 连接 BH，则 BH=CE FEDC BAH1 问题转化为 BH+AF 最小值．
1HAB CDEFFDCBAH1 参考将军遛马的作法，作出图形，得出 AF+BH=A’H+B’H=A’B’=5． B"A"1HABCDF
最值系列之辅助圆 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点 P 就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可． 当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如 P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆． 在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题． 若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点 P 使得 PA 最小． AOP 当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：
【2017 四川德阳】
如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC=5，点 P 为圆 C 上一动点，经过点 O的直线 l 上有两点 A、B，且 OA=OB，∠APB=90°，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为________． lPOCB A 【分析】连接 OP，根据△APB 为直角三角形且 O 是斜边 AB 中点，可得 OP 是 AB 的一半，若 AB 最小，则 OP 最小即可． lPOCB AA BCOPl 连接 OC，与圆 C 交点即为所求点 P，此时 OP 最小，AB 也取到最小值．
一、从圆的定义构造圆
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
【2014 成都中考】
如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60°，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A’MN，连接 A’C，则 A’C 长度的最小值是__________． A"NMA BCD 【分析】考虑△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A’MN，可得 MA’=MA=1，所以 A’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧． A"NMA BCD 连接 CM，与圆的交点即为所求的 A’，此时 A’C 的值最小． DCB AMNA" 构造直角△MHC，勾股定理求 CM，再减去 ...
篇三：两动一定最小值问题
上一动点到两定点距离之和最小问题如何求直线上一动点 p 到（同侧）
两定点距离之和的最小值
例题讲解
1、 平面直角坐标系内有 A（2， -1）
， B（3， 3）
两点， 点 P 是 y 轴上一动点， 求：
（1）
P 到 A、 B 距离之和最小时的坐标；
（2）
P 到 A、 B 距离之和的最小值；
（3）
三角形 PAB 的周长的最小值。
例 2、 正方形 ABCD 的边长为 8， 点 M 在 CD 上且 DM=2， 动点 N 在对角线 AC 上， 则 DN+MN的最小值是多少？
1
例 3． （2009， 深圳）
如图， 在直角坐标系中， 点 A 的坐标为（－2， 0）
， 连结 OA， 将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120° ， 得到线段 OB.
（1）
求点 B 的坐标；
（2）
求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式；
（3）
在（2）
中抛物线的对称轴上是否存在点 C， 使△BOC 的周长最小？ 若存在， 求出点 C 的坐标和 △BOC 的最小周长； 若不存在， 请说明理由.
巩固提高
1、 在边长为 2 ㎝的正方形 ABCD 中， 点 Q 为 BC 边的中点， 点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、 PQ，
则△PBQ 周长的最小值为____________㎝。
△ABE 是等边三角形， 2、 如图所示， 正方形 ABCD 的面积为 12， 点 E 在正方形 ABCD内， 在对角线 AC
上有一点 P， 使 PD PE 的和最小， 则这个最小值为（ ）
D
A
．
B
．
C． 3 D
E
C 3、 已知直角梯形 ABCD 中， AD∥BC， AB⊥BC， AD=2， BC=DC=5， 点 P 在 BC 上移动， 则当 PA+PD 取 最小值时， △APD 中边 AP 上的高为（ ）
A、 217 B、 48C、
D、 3 1717
2
4、 （2008， 荆门）
如图， 菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8， 点 P 是对角线 AC 上的一个动点， 点 M、 N 分别 是边 AB、 BC 的中点， 则 PM+PN 的最小值是 。
05、 （2009， 南通）
如图， MN 是 O 的直径， MN=2， 点 A 在 O 上， ∠AMN=30， B 为弧 AN的中点， P 是直径 MN 上的一
个动点， 则 PA+PB 的最小值是 。
6、 如图， 在△ABC 中， AC＝BC＝2， ∠ACB＝90° ， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边上一动点， 则 EC＋ ED 的最小值为_______。
7、 如图， 在锐角△ABC 中， AB＝42， ∠BAC＝45° ， ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D， M、 N分别是 AD 和 AB 上的动点， 则 BM+MN 的最小值是____．
8、 一次函数 y kx b 的图象与 x、 y 轴分别交于点 A（2， 0）
， B（0， 4）
．
（1）
求该函数的解析式；
（2）
O 为坐标原点， 设 OA、 AB 的中点分别为 C、 D， P 为 OB 上一动点，
求 PC＋PD 的最小值， 并求取得最小值时 P 点坐标．
9、 已知：
抛物线的对称轴为 x=－1， 与 x 轴交于 A， B 两点， 与 y 轴交于点 C， 其中A 3， 0 、 C 0， 2 ．
（1）
求这条抛物线的函数表达式．
（2）
已知在对称轴上存在一点 P， 使得△PBC 的周长最小． 请求出点 P 的坐标和此时△PBC 的周长．
3
10、 如图， 在矩形 OABC 中， 已知 A、 C 两点的坐标分别为 A(4， 、 0) C(0， 2) ， D 为 OA的中点． 设点 P 是 AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合）
．
（1）
试证明：
无论点 P 运动到何处， PC 总与 PD 相等；
（2）
当点 P 运动到与点 B 的距离最小时， 试确定过 O、 P、 D 三点的抛物线的解析式；
（3）
设点 E 是（2）
中所确定抛物线的顶点， 当点 P 运动到何处时， △PDE 的周长最小？ 求出此时点 P 的坐标和△PDE 的周长；
C
4
作 业
︵1、 已知⊙O 的直径 CD 为 4， ∠AOD 的度数为 60° ， 点 B 是 AD 的中点， 在直径 CD 上找一点 P， 使 BP+AP
的值最小， 且 BP+AP 的最小值
1 题图 2 题图 2 题图
2、 如图， 点 P 关于 OA、 OB 的对称点分别为 C、 D， 连接 CD， 交 OA 于 M， 交 OB 于 N， 若CD＝18cm， 则△PMN 的周长为________。
3、 已知， 如图 DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， DE 交 BC 于 E， 且 AC＝5，BC＝8， 则 △AEC 的周长为__________。
4、 已知， 如图， 在△ABC 中， AB＜AC， BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E， AC＝ 8， △ABE 的周长为 14， 则 AB 的长
4 题图 5 题图
5、 如图， 在△ABC 中， AB 的垂直平分线交 AC 于 D， 若 AC＝5cm， BC＝4cm， 则△BDC 的周长为________．
6、 （1）
如图 1， 等腰 Rt△ABC 的直角边长为 2， E 是斜边 AB 的中点， P 是 AC 边上的一动点， 则 PB+PE 的最小值为
（2）
几何拓展：
如图 2， △ABC 中， AB=2， ∠BAC=30° ， 若在 AC、 AB 上各取一点 M、N， 使 BM+MN 的值最小， 则这个最小值
7、 如图， 已知∠AOB 内有一点 P， 试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、 F， 使得△PEF 的周长最小。
试 画出图形， 并说明理由。
5
8、 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ∠ABC＝90° ， AD∥BC， AD＝4， AB＝5， BC＝6， 点 P 是AB 上一个动 点， 当 PC＋PD 的和最小时， PB 的长为__________．
9、 （温州中考）
如图， AB 是⊙O 的直径， AB=2， OC 是⊙O 的半径， OC⊥AB， 点 D 在 AC 上, AD=2CD， 点 P 是 半径 OC 上一个动点， 那么 AP+PD 的最小值是 .
D
C
B
10、 如图， 正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点． 则 PB+PE 的最小值是．
第 10 题 第 11 题
11、 已知 A(－2， 3) ， B(3， 1) ， P 点在 x 轴上， 若 PA＋PB 长度最小， 则最小值为
12、 已知在对抛物线的对称轴上存在一点 P， 使得△PBC 的周长最小， 请求出点 P 的坐标和△PBC 的周长。
6
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